$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
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num: 27015
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Dieter HeidornDATE : Fri, 1 Nov 2024 14:32:20 +0100 TEMA : Re: Hilbert zu unendlichen Mengen NUMBER: 27005 SIZE : 4130 --------------------------------------------- Moebius schrieb: > Am 31.10.2024 um 22:10 schrieb Dieter Heidorn: > > An sich ein toller Text von Cantor, aber der folgende Abschnitt macht so > gut wie keinen Sinn. Das hatte Frege besser hinbekommen (wenn auch noch > nicht ganz perfekt im Rahmen seines "Systems"): > >> "/'Mächtigkeit' oder /'Kardinalzahl'/ von M nennen wir den/ >> /Allgemeinbegriff, welcher mit Hilfe unseres aktiven Denkvermögens/ >> /dadurch aus der Menge M hervorgeht, daß von der Beschaffenheit/ >> /ihrer verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres/ >> /Gegebenseins abstrahiert wird/. > > Ah ja... > >> Das Resultat dieses zweifachen Abstraktionsakts, die Kardinalzahl oder >> die Mächtigkeit bezeichnen wir mit >> >> |M| (3) >> >> [bei Cantor: M doppelt überstrichen; heute auch mit card(M) bezeichnet] >> >> Da aus jedem einzelnen Elemente m, wenn man von seiner Beschaffenheit >> absieht, eine 'Eins' wird, so ist die Kardinalzahl |M| selbst eine >> bestimmte, aus lauter Einsen zusammengesetzte Menge, > > Ah? Nun ist aber bekanntlich z. B. {1, 1, 1} = {1} ... > > Was er MEINT ist wohl richtig, aber ... man muss das Ganze doch ein > wenig anders ... anpacken. :-P > > Die Kardinalzahl einer Menge M kann (in einem entsprechenden Kontext) > definiert werden als die /Klasse/ der Mengen, die gleichmächtig sind mit > M. [DANN abstrahieren wir wirklich "von der Beschaffenheit ihrer > verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins".] > > Aber das bringt natürlich eigene Schwierigkeiten mit sich. (Echte Klasse > vs. Menge.) > >> die als intellektuelles Abbild oder Projektion der gegebenen Menge M >> in unserm >> Geiste Existenz hat. > > Ufff... > > Man kann wohl sagen, dass diese Arbeit Cantors KEINE Definition der > /Mächtigkeit/ bzw. /Kardinalzahl/ einer Menge enthält. > Damit hast du natürlich recht. Mir ging es an dieser Stelle aber durchaus um den ersten Schritt Cantors bei der Entwicklung des Begriffes der Mächtigkeit. Der Herausgeber der "Gesammelten Abhandlungen", Ernst Zermelo, hat zu den zusammengetragenen Arbeiten Cantors auch stets Anmerkungen gemacht. Zu dem, was du mit Recht kritisierst, schreibt Zermelo: "Der Versuch, den zur 'Kardinalzahl' führenden Abstraktionsprozeß dadurch scheinbar zu erläutern, daß die Kardinalzahl als eine aus 'lauter Einsen zusammengestzte Menge' aufgefasst wird, war kein glücklicher. Denn wenn die 'Einsen', wie es doch sein muss, alle untereinander /verschieden/ sind, so sind sie eben weiter nichts als die Elemente einer neu eingeführten, und mit der ersten äquivalenten Menge, und in der nun doch erforderlichen Abstraktion sind wir um keinen Schritt weiter gekommen." (Ges. Abh., S.351) Für einen modernen Umgang mit dieser Problematik verweise ich auf die dir bekannte Quelle von Deiser: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_4_Z7 https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_12 Dieter Heidorn ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Jens Kallup DATE : Fri, 1 Nov 2024 17:09:58 +0100 TEMA : Re: Hilbert zu unendlichen Mengen NUMBER: 27006 SIZE : 2319 --------------------------------------------- Am 01.11.2024 um 14:32 schrieb Dieter Heidorn: > "Der Versuch, den zur 'Kardinalzahl' führenden Abstraktionsprozeß > dadurch scheinbar zu erläutern, daß die Kardinalzahl als eine aus > 'lauter Einsen zusammengestzte Menge' aufgefasst wird, war kein > glücklicher. Denn wenn die 'Einsen', wie es doch sein muss, alle > untereinander /verschieden/ sind, so sind sie eben weiter nichts > als die Elemente einer neu eingeführten, und mit der ersten > äquivalenten Menge, und in der nun doch erforderlichen Abstraktion > sind wir um keinen Schritt weiter gekommen." > (Ges. Abh., S.351) stimmt. Cantor schrieb ja später (also jetzt rückwirkend im Datum), das die Elemente immer nur "ein" Merkmal haben sollten (was dann mit der in der Mathematik meist *nicht* verlangten "Mehrdeutigkeit" daherkommt Aber das beiseite - wie sieht es denn mit den "von Neumann" System aus - wo doch IN_0 gilt (also jetzt nicht mehr "einsen", sondern an stelle die "nullen". Ich sehe da eine Mehrdeutigkeit und Missverständlichkeit. Weil wenn monoton nullen in der Menge auftauchen dann kann man doch vermuten, das die Menge leer ist, obwohl die nullen aber einen be- stimmten Zweck erfüllen müssen (zum Beispiel zum auffüllen einer auf einer Reihe benötigten "Band"-Breite, damit Berechnungen nicht einen Unter- oder Überlauf produzieren... Jens ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Fri, 1 Nov 2024 17:50:32 +0100 TEMA : Re: Hilbert zu unendlichen Mengen NUMBER: 27007 SIZE : 2605 --------------------------------------------- On 01.11.2024 14:20, Moebius wrote: > Am 01.11.2024 um 13:43 schrieb WM: >> On 31.10.2024 22:10, Dieter Heidorn wrote: >> >>> Der Teil (die echte Teilmenge 𝔾 von ℕ) ist _nicht_ kleiner als das >>> Ganze (die gesamte Menge ℕ)", wenn der Größenvergleich der beiden >>> unendlichen Mengen durch Vergleich der Kardinalzahlen vorgenommen wird. >> >> Ja. Aber warum soll man [so ein] Analyseinstrument heranziehen [...]? > > Weil es überaus zweckmäßig ist. So? Für welchen Zweck ist es denn nützlich? Etwa um festzustellen, dass die Brüche das Maß 0 haben und die reellen Zahlen einen completely scattered space bilden? "There are, in fact, uncountably many gaps between the intervals of your construction." [G. Edgar] "Kindly tell me what separates these gaps?" [NN] Eine Antwort ist niemals erfolgt. >> Wenn die Untermengenrelation herangezogen wird, dann ist die Menge 𝔾 >> kleiner als ℕ. > > Ah ja. Und wenn man statt G die Menge G* = {{g} : g e G} betrachtet? > Dann kann Deine tolle Methode plötzlich gar nichts mehr über > "größer/kleiner" sagen. Höchst bedauerlich. Regel der Konstruktion. > > Selbst der Vergleich zwischen {-1. -2. -3, ...} und {1, 2, 3, ...} geht > nicht. Doch der geht. Die Regel der Konstruktion zeigt ebenso wie die Regel der Symmetrie, dass beide Mengen gleichgroß sind. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Jens Kallup DATE : Fri, 1 Nov 2024 17:59:11 +0100 TEMA : Re: Hilbert zu unendlichen Mengen NUMBER: 27008 SIZE : 1482 --------------------------------------------- Am 01.11.2024 um 17:50 schrieb WM: > On 01.11.2024 14:20, Moebius wrote: > Regel der Konstruktion. >> >> Selbst der Vergleich zwischen {-1. -2. -3, ...} und {1, 2, 3, ...} >> geht nicht. > > Doch der geht. Die Regel der Konstruktion zeigt ebenso wie die Regel der > Symmetrie, dass beide Mengen gleichgroß sind. @WM: - warum wollte man denn IZ, |IZ|, IN_0 und IN denn teilen/beschneiden ? - macht doch keinen Sinn, wenn die Schnitte genauso mächtig sind zu die im großen betrachteten "Eltern" ? Jens ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Ralf Bader DATE : Fri, 1 Nov 2024 19:32:47 +0100 TEMA : Re: Hilbert zu unendlichen Mengen NUMBER: 27009 SIZE : 3622 --------------------------------------------- On 11/01/2024 05:50 PM, WM wrote: > On 01.11.2024 14:20, Moebius wrote: >> Am 01.11.2024 um 13:43 schrieb WM: >>> On 31.10.2024 22:10, Dieter Heidorn wrote: >>> >>>> Der Teil (die echte Teilmenge 𝔾 von ℕ) ist _nicht_ kleiner als das >>>> Ganze (die gesamte Menge ℕ)", wenn der Größenvergleich der beiden >>>> unendlichen Mengen durch Vergleich der Kardinalzahlen vorgenommen wird. >>> >>> Ja. Aber warum soll man [so ein] Analyseinstrument heranziehen [...]? >> >> Weil es überaus zweckmäßig ist. > > So? Für welchen Zweck ist es denn nützlich? Etwa um festzustellen, dass > die Brüche das Maß 0 haben Das kann man nicht feststellen, weil es falsch ist. Es haben z.B. die rationalen Zahlen (als Teilmenge von IR) das Lebesgue-Maß 0. > und die reellen Zahlen einen completely > scattered space bilden? Was auch immer ein "completely scattered space" sein soll, es ist ziemlich sicher falsch. Ein "scattered space" ist IR mit üblicher Topologie jedenfalls nicht. > "There are, in fact, uncountably many gaps between the intervals of your > construction." [G. Edgar] "Kindly tell me what separates these gaps?" > [NN] Eine Antwort ist niemals erfolgt. Ein G.Edgar erzählt an ungenannter Stelle etwas über Lücken in einer ungenannten Konstruktion. Weshalb sollte es darauf eine Antwort geben? >>> Wenn die Untermengenrelation herangezogen wird, dann ist die Menge 𝔾 >>> kleiner als ℕ. >> >> Ah ja. Und wenn man statt G die Menge G* = {{g} : g e G} betrachtet? >> Dann kann Deine tolle Methode plötzlich gar nichts mehr über >> "größer/kleiner" sagen. Höchst bedauerlich. > > Regel der Konstruktion. Blablabla. Für die Gleichmächtigkeit von IQ und IN gibt es auch eine Konstruktion mit Regel, aber die paßt Ihnen irgendwie nicht. Abgesehen von der Frage, wie sich diese "Regel der Konstruktion" formulieren läßt. Wahrscheinlich überhaupt nicht. >> Selbst der Vergleich zwischen {-1. -2. -3, ...} und {1, 2, 3, ...} >> geht nicht. > > Doch der geht. Die Regel der Konstruktion zeigt ebenso wie die Regel der > Symmetrie, dass beide Mengen gleichgroß sind. Aber Sie können weitere Regel-der-Schlagwörter aus dem Hut zaubern. Mückenheim, Ihr saudummes Gefasel zeigt, daß Sie für Mathematik zu doof und zu blöde sind. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Marc Olschok DATE : Fri, 1 Nov 2024 18:37:41 -0000 (UTC) TEMA : Re: Unicode NUMBER: 27010 SIZE : 1776 --------------------------------------------- On Wed, 30 Oct 2024 16:58:38 Gerhard Strangar wrote: > Hallo, > > nachdem ich hier kürzlich das hier gesehen habe: >> card(ℕ) = card(𝔾 ⋃ 𝕌) = card(𝔾) + card(𝕌) = ℵo + ℵo = ℵo . > > Wie gebt ihr die Zeichen ein, Compose-Taste, Bildschirmtastatur, in > einem anderen Programm und dann copy&paste? Oder merkt ihr euch die > Unicode-Nummern, weil es nur endlich viele sind? ;-) Für so etwas habe ich im VI entsprechende mappings. Weil ich das aber in erster Linie für Umlaute und ähnliches verwende (z.B. tippe ich f"ur für für), hatte ich noch gar nicht daran gedacht, das umfangreicher zu gestalten und geschickt in einer Function zu verkapseln wie Ralf es beschrieben hat. In NG's vermeide ich besondere Zeichen, weil ich keine starken Annahmen darüber treffen will, ob andere sie lesen können. v.G. -- M.O. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Dieter Heidorn DATE : Fri, 1 Nov 2024 21:24:07 +0100 TEMA : Re: Hilbert zu unendlichen Mengen NUMBER: 27011 SIZE : 3831 --------------------------------------------- Jens Kallup schrieb: > wie sieht es denn mit den "von Neumann" System > aus - wo doch IN_0 gilt Da sieht's gut aus :-) https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Bezeichnungskonventionen "Bezeichnungskonventionen Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Formelzeichen ℕ abgekürzt. [...] Sie umfasst entweder die positiven ganzen Zahlen (also ohne die 0) ℕ = {1, 2, 3, ...} oder die nichtnegativen ganzen Zahlen (also inklusive der 0) ℕ = {0, 1,2 ,3 , ...} . Beide Konventionen werden uneinheitlich verwendet. Die ältere Tradition zählt die Null nicht zu den natürlichen Zahlen (die Null wurde in Europa erst ab dem 13. Jahrhundert gebräuchlich). Diese Definition ist gängiger in mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie, in denen die Multiplikation der natürlichen Zahlen im Vordergrund steht. In der Logik, der Mengenlehre und der Informatik[1] ist dagegen die Definition mit Null gebräuchlicher und vereinfacht die Darstellung. Nur mit letzterer Konvention bilden die natürlichen Zahlen mit der Addition ein Monoid. Im Zweifelsfall ist die verwendete Definition explizit zu nennen. Für die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null führte Dedekind 1888 das Symbol N ein.[2] Sein Symbol wird heute oft als Buchstabe N mit Doppelstrich stilisiert (ℕ oder IN ). Ab 1894 gebrauchte Peano für die natürlichen Zahlen mit Null das Symbol N_0, das heute ebenfalls stilisiert und nach Peano durch ℕ_0 := ℕ ∪ {0} definiert wird.[3] [...] Letztlich ist es eine Frage der Definition, welche der beiden Mengen man als natürlicher ansehen und welcher man somit diese Bezeichnung als sprachliche Auszeichnung zukommen lassen will." In von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ergibt sich durch die Konstruktion ℕ_0: https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Von_Neumanns_Modell_der_nat%C3%BCrlichen_Zahlen > Ich sehe da eine Mehrdeutigkeit und Missverständlichkeit. > Weil wenn monoton nullen in der Menge auftauchen dann kann man doch > vermuten, das die Menge leer ist, Nö - kann man nicht, denn wenn zwischen den Mengenklammern "{" und "}" nicht nichts steht, handelt es sich nicht um die leere Menge: { } = leere Menge, denn die Mengenklammern umschließen nichts {0} =/= leere Menge, denn die Mengenklammern umschließen den Inhalt, der aus der Zahl Null besteht. > obwohl die nullen aber einen be- > stimmten Zweck erfüllen müssen (zum Beispiel zum auffüllen einer auf > einer Reihe benötigten "Band"-Breite, damit Berechnungen nicht einen > Unter- oder Überlauf produzieren... Falls du an eine Liste oder ein Array denken solltest: das ist nicht das Gleiche wie eine mathematische Menge. Dieter Heidorn ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Dieter Heidorn DATE : Fri, 1 Nov 2024 21:25:50 +0100 TEMA : Re: Hilbert zu unendlichen Mengen NUMBER: 27012 SIZE : 7101 --------------------------------------------- WM schrieb: > On 31.10.2024 22:10, Dieter Heidorn wrote: > >> Der Teil (die echte Teilmenge 𝔾 von ℕ) ist _nicht_ kleiner als das >> Ganze (die gesamte Menge ℕ)", wenn der Größenvergleich der beiden >> unendlichen Mengen durch Vergleich der Kardinalzahlen vorgenommen wird. > > Ja. Gut. Widerspruch wäre auch sinnlos. > Aber warum soll man ein [solches] Analyseinstrument > heranziehen, Das wurde hier bereits mehrfach erwähnt. Wenn man eine tragfähige Theorie zum Umgang mit unendlichen Mengen entwickeln will, dann ist eine klare Definition unverzichtbar, was unter einer unendlichen Menge verstanden werden soll. Zunächst hat es sich als nötig erwiesen, den Begriff "gleichmächtige Mengen" zu definieren: * Definition(|A| = |B|; erste Fundamentaldefinition der Mengenlehre) ------------------------------------------------------------------ Seien A und B Mengen. Dann ist A gleichmächtig zu B, in Zeichen |A| = |B|, falls gilt: Es existiert ein bijektives f : A → B. (Cantor spricht von "äquivalenten Mengen", i.Z. A ~ B, wenn A und B im Sinne der Definition gleichmächtig sind. (https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_4_Z2) Dann wird der Begriff "unendliche Menge" definiert: * Definition (Unendlichkeit nach Dedekind) ---------------------------------------- Sei M eine Menge. M heißt /unendlich/, falls es eine echte Teilmenge N von M gibt, die sich bijektiv auf M abbilden lässt, d. h. es gibt ein N ⊂ M mit |N| = |M|. Eine Menge heißt /endlich/, falls sie nicht unendlich ist. (https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_6_Z3) > das falsche Ergebnisse liefert? Es liefert keine "falschen Ergebnisse". Ich hatte dich bereits auf folgendes hingewiesen: "Gibt es mehr natürliche oder mehr gerade Zahlen ? ------------------------------------------------- Seien ℕ = { 0, 1, 2, 3, ...} und 𝔾 = { 0, 2, 4, 6, ...} die Menge der geraden Zahlen. Definiere f : ℕ → 𝔾 durch f (n) = 2n für alle n ∈ ℕ. Dann ist f : ℕ → 𝔾 bijektiv, also gilt |ℕ| = |𝔾|. Offenbar ist aber 𝔾 ⊂ ℕ. Ist das Ergebnis 𝔾 und ℕ /sind gleich groß/ nicht paradox, wo doch wegen 𝔾 ⊂ ℕ die Menge 𝔾 offensichtlich kleiner ist als ℕ? Keineswegs, denn hier liegen verschiedene Interpretationen von 'groß' vor. Beide sind natürlich, aber sie stimmen im Allgemeinen nicht überein. /A ist größergleich als B/ falls /B ist Teilmenge von A/ ist ein sinnvoller Größenbegriff, und er wird in der Mengenlehre oft verwendet. Er ist aber vom Begriff der Größe, der durch Bijektionen gegeben wird, verschieden, und hinsichtlich des Zieles, dass die Größe einer Menge Zahlcharakter haben soll, ist er unbrauchbar: Die Vergleichbarkeit A ⊆ B oder B ⊆ A gilt nicht für beliebige Mengen A und B." (https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_6_Z1) >>>> Nebenbei: Unter "Vollständigkeit" versteht man in der Analysis etwas >>>> anderes: >> https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndiger_Raum >> >>> Nun, Cantor hat seine Theorie damit bezeichnet >> >> Nein, hat er nicht. > > 1.1.1 Vollständig > > "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und > vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es > auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen > geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet > sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, > daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119] Hier - und in allen anderen Zitatschnipseln, die du hierher kopiert hattest - beschreibt Cantor nichts anderes als das, was in obiger Definition steht: "Seien A und B Mengen. Dann ist A gleichmächtig zu B, in Zeichen |A| = |B|, falls gilt: Es existiert ein bijektives f : A → B." Zur Erinnerung: "Seien X und Y Mengen und sei f eine Abbildung oder eine Funktion, die von X nach Y abbildet, also f : X → Y. Dann heißt f bijektiv, wenn für alle y∈Y genau ein x∈X mit f(x) = y existiert, formal: ∀ y ∈ Y : ∃! x ∈ X : f(x) = y . Das bedeutet: f ist bijektiv dann und nur dann, wenn f sowohl (1) injektiv ist: Kein Wert der Zielmenge Y wird mehrfach angenommen. Mit anderen Worten: Das Urbild jedes Elements der Zielmenge Y aus höchstens einem Element von X. Aus f(x_1) = f(x_2) folgt daher immer x_1 = x_2. als auch (2) surjektiv ist: Jedes Element der Zielmenge Y wird angenommen. Mit anderen Worten: Die Zielmenge Y und die Bildmenge f(X) stimmen überein, also f(X) = Y. Für jedes y aus Y existiert daher (mindestens) ein x aus X mit f(x) = y." Das "vollständig" in den Cantor-Zitaten bezieht sich darauf, dass f surjektiv ist: _jedes Element von X_ wird durch f auf genau ein Element von Y abgebildet. Unter "Vollständigkeit" versteht man in der Analysis aber etwas anderes: https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndiger_Raum Dort kannst du gleich am Anfang nachlesen: "Ein *vollständiger Raum* ist in der Analysis ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums konvergiert. Zum Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen mit der Betragsmetrik nicht vollständig, weil etwa die Zahl sqrt(2) nicht rational ist, es jedoch Cauchy-Folgen rationaler Zahlen gibt, die bei Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen gegen sqrt(2) und somit gegen keine rationale Zahl konvergieren. Es ist aber stets möglich, die Löcher auszufüllen, also einen unvollständigen metrischen Raum zu *vervollständigen*. Im Fall der rationalen Zahlen erhält man dadurch den Raum der reellen Zahlen." Was deine mathematischen Kenntnisse angeht: die bilden ebenfalls einen unvollständigen Raum... Dieter Heidorn ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Fri, 1 Nov 2024 21:40:33 +0100 TEMA : Re: Hilbert zu unendlichen Mengen NUMBER: 27013 SIZE : 2932 --------------------------------------------- On 01.11.2024 19:32, Ralf Bader wrote: > On 11/01/2024 05:50 PM, WM wrote: > Was auch immer ein "completely scattered space" sein soll, Es ist eine übliche Bezeichnung. > es ist > ziemlich sicher falsch. Ein "scattered space" ist IR mit üblicher > Topologie jedenfalls nicht. > >> "There are, in fact, uncountably many gaps between the intervals of your >> construction." [G. Edgar] "Kindly tell me what separates these gaps?" >> [NN] Eine Antwort ist niemals erfolgt. > > Ein G.Edgar erzählt an ungenannter Stelle etwas über Lücken in einer > ungenannten Konstruktion. Weshalb sollte es darauf eine Antwort geben? Es ging um die Überdeckung der rationalen Zahlen mit dem Maß 0 und die sich daraus ergebenden Paradoxien - eine Frage in MathOverflow, übrigens nicht von mir gestellt. Natürlich wurde diese Frage bald gelöscht und ist daher nicht mehr auffindbar. Edgar behauptete den zitierten Unsinn. Die unbeantwortbare Frage habe ich gestellt. Übrigens, wenn die Überdeckung der rationalen Zahlen durch Intervalle mit irrationalen Enden erfolgt, so kann zwischen diesen Intervallen überhaupt keine reelle Zahl liegen, denn alle rationalen sind in INtervalle eingeschlossen und irrationale Zahlen können nicht neben irrationalen liegen. Die ganze reelle Achse hat dann das Maß 0. > Für die Gleichmächtigkeit von IQ und IN gibt es auch eine > Konstruktion mit Regel, aber die paßt Ihnen irgendwie nicht. Ich habe sie widerlegt. Meine Widerlegung kann nur entkräftet werden, wenn man erlaubt, dass bei verlustlosem Austausch von O Verluste stattfinden. GRuß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Fri, 1 Nov 2024 21:52:13 +0100 TEMA : Re: Hilbert zu unendlichen Mengen NUMBER: 27014 SIZE : 3284 --------------------------------------------- On 01.11.2024 21:25, Dieter Heidorn wrote: > WM schrieb: >> Aber warum soll man ein [solches] Analyseinstrument heranziehen, >> das falsche Ergebnisse liefert? > > Es liefert keine "falschen Ergebnisse". Ich hatte dich bereits auf > folgendes hingewiesen: > > "Gibt es mehr natürliche oder mehr gerade Zahlen ? Du hängst immer noch dem Irrglauben an, dass eine Teilmenge genau so viele Zahlen haben könnter wie die Menge. Er ist bei sinnvoller Definition von "mehr" falsch. >>>>> Nebenbei: Unter "Vollständigkeit" versteht man in der Analysis etwas >>>>> anderes: >>> https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndiger_Raum >>> >>>> Nun, Cantor hat seine Theorie damit bezeichnet >>> >>> Nein, hat er nicht. >> >> 1.1.1 Vollständig >> >> "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig >> und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, >> wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere >> Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise >> gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit >> haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119] > > Hier - und in allen anderen Zitatschnipseln, die du hierher kopiert > hattest - beschreibt Cantor nichts anderes als das, was in obiger > Definition steht: Er bezeichnet damit die Vollständigkeit seiner Mannigfaltigkeiten. > Das "vollständig" in den Cantor-Zitaten bezieht sich darauf, dass f > surjektiv ist: Was ohne Vollständigkeit der Mengen nicht möglich wäre. > Unter "Vollständigkeit" versteht man in der Analysis aber etwas > anderes: Das hat auch niemand bestritten. Möglichweise gibt es in Kunst, Kultur und Politik noch weitere Bedeutungen. Das ändert nichts daran, dass Deine Wissenslücken wieder einmal deutlich zutage getreten sind. > Was deine mathematischen Kenntnisse angeht: die bilden ebenfalls einen > unvollständigen Raum... Woher wolltest Du das wissen? Es ist lediglich die Giftreaktion auf meine Beweise Deiner Ahnungslosigkeit. Gruß, WM