A Example:
$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
connected.
num: 29135
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : WM
DATE : Thu, 3 Apr 2025 21:53:01 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27d?= =?UTF-8?Q?ivergenter_Teil=27?=
NUMBER: 29125
SIZE : 2933
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On 03.04.2025 20:39, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 03.04.2025 um 14:53 schrieb WM:
>>>
>>> Sei a_0 + a_1 + a_2 + ... eine unendliche Reihe.
>>> Als divergenten Teil der Reihe bezeichnet man in Augsburg ...
>>
>> Als divergenten Teil bezeichnet man alle Terme, deren Nenner alle
>> definierbaren (also endlichen) Ziffernfolgen enthalten, also
>> 12345678910111213...471047114712...100000000000000000100000000000000001100000000000000002... und dazu additiv 1, 2, 3, .... Damit ergeben sich ausschließlich dunkle Zahlen, weil diese Nenner größer als alle definierbaren Zahlen sind.
>>
>
> Im Titel steht der Zusatz 'Definition', und zu definieren ist
> 'divergenter Teil einer unendlichen Reihe'.
>
> versuchst Du, die Wortschöpfung
> 'divergenter Teil' mit Beispielen zu erklären.
Mangels mathematischer Fähigkeiten kannst Du nicht verstehen, dass "alle
Terme, deren Nenner alle definierbaren (also endlichen) Ziffernfolgen
enthalten" den divergenten Teil präzise beschreibt. Dass ich für
schwächere Leser noch ein Beispiel angefügt habe, sollte mir von diesen
gedankt werden.
>
> Dein Spiel ist aus.
>
Es geht hier nicht um ein Spiel (in dem der dummdreisteste gewinnt),
sondern um eine neue wissenschaftliche Erkenntnis.
Gruß, WM
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Ralf Bader
DATE : Thu, 3 Apr 2025 23:25:33 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re:_Eine_merkw=c3=bcrdige_Stille_//_TH7_Definition_'diver?= =?UTF-8?Q?genter_Teil'?=
NUMBER: 29126
SIZE : 1992
---------------------------------------------
On 04/03/2025 09:53 PM, WM wrote:
> Mangels mathematischer Fähigkeiten kannst Du nicht verstehen, dass "alle
> Terme, deren Nenner alle definierbaren (also endlichen) Ziffernfolgen
> enthalten" den divergenten Teil präzise beschreibt.
Was für ein unfaßbar saublöder Scheißdreck!
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Fri, 4 Apr 2025 00:01:21 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?=
NUMBER: 29127
SIZE : 6223
---------------------------------------------
Am 31.03.2025 um 01:37 schrieb Moebius:
> Am 31.03.2025 um 01:04 schrieb Moebius:
>> Am 31.03.2025 um 01:02 schrieb Moebius:
>>> Am 31.03.2025 um 00:38 schrieb Moebius:
>>>
>>>> Der folgende offenbar gültige logische Schluss lässt sich nicht mit
>>>> Hilfe des von Aristoteles gelehrten Systems (->Syllogismus) beweisen:
>>>>
>>>> „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“
>>>
>>> Kann das hier jemand beweisen? :-)
>>
>> Hinweis: Das hat insbesondere auch etwas mit dem Thema "Definition" zu
>> tun. Passt also ganz gut in den Thread. :-)
>
> Spoiler
>
> .
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> .
> .
> .
>
> Der springende Punkt ist natürlich die Definition (sic!) der Begriffe /
> Pferdekopf/ und /Tierkopf/.
>
> Wenn man man die Begriffe P, T und K (/Pferd/, /Tier/ und /Kopf von/)
> als undefinierte Grundbegriffe voraussetzt, kann man den oben erwähnten
> Schluss (mit passenden Definitionen) leicht beweisen. Wir definieren:
>
> PK(x) :<-> Ey(P(y) & K(x,y)) ...x ist ein Pferdekopf
>
> wobei K(x,y) bedeuten soll "x ist ein Kopf von y".
>
> x ist also ein Pferdekopf, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein Kopf
> von y ist.
>
> Ebenso:
>
> TK(x) :<-> Ey(T(y) & K(x,y)) ...x ist ein Tierkopf
>
> x ist also ein Tierkopf, wenn es ein Tier y gibt, so dass x ein Kopf von
> y ist.
Man ist vielleicht versucht, hier statt der Relation K ("... ist ein
Kopf von ...") eine Funktion ("der Kopf von ...") zu verwenden und dann
PK ("Pferdekopf") und TK ("Tierkopf") wie folgt zu definieren:
PK(x) :<-> Ey(P(y) & x = K(y))
"x ist ein Pferdekopf, gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x ist."
und
TK(x) :<-> Ey(T(y) & x = K(y)) ,
"x ist ein Tierkopf, gdw. es ein Tier gibt, dessen Kopf x ist."
Das wären aber keine "adäquaten" Definitionen für /Pferdekopf/ bzw.
/Tierkopf/, weil es eine Tatsache ist, dass es Tiere ohne Köpfe gibt (z.
B. Schwämme, Quallen oder Seesterne) und ebenso (als Fehlbildungen)
Tiere mit mehreren Köpfen. Wenn also x so ein Tier wäre, was wäre dann
F(x) (wenn F(x) DER Kopf des Tiers x sein soll)?
Tatsächlich basieren also diese Definitionen auf einer (versteckten)
"Zusatzannahme", nämlich dass alle Pferde/Tiere genau einen Kopf haben
(was -wie wir eben gesehen habe- FAKTISCH nicht immer der Fall ist).
Wir wollen diese Annahme NICHT machen, und statt einer Funktion eine
Relation benutzen, um die Begriffe /Pferdekopf/ und /Tierkopf/ zu
definieren. (Das ist m. E. auch aus einem weiteren Grund hier
vorzuziehen: denn damit bewegen wir uns im Rahmen der elementaren
Prädikatenlogik erster Ordnung _ohne_ "Funktionen", also der
"elementarsten Form" der Prädikatenlogik. Vgl. dazu [1].)
Wir definieren also - wie gehabt:
PK(x) :<-> Ey(P(y) & K(x,y)) ...x ist ein Pferdekopf
wobei K(x,y) bedeuten soll "x ist ein Kopf von y".
x ist also ein Pferdekopf, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein Kopf
von y ist.
Ebenso:
TK(x) :<-> Ey(T(y) & K(x,y)) ...x ist ein Tierkopf
Tatsächlich ist dieser Ansatz auch noch in einer anderen Hinsicht
"vorteilhaft". Er funktioniert nämlich auch für z. B.
„Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdebeine Tierbeine“.
Hier würde ja auch eine (versteckte) Zusatzannahme wie "alle
Pferde/Tiere haben genau ein Bein", zweifelsfrei im Widerspruch mit den
Fakten stehen. (Die entsprechenden Definitionen wären als in keinem Fall
"adäquat".)
Die folgenden Definitionen erscheinen aber "adäquat" zu sein [2]:
PB(x) :<-> Ey(P(y) & B(x,y)) ...x ist ein Pferdebein
wobei B(x,y) bedeuten soll "x ist ein Bein von y".
x ist also ein Pferdebein, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein Bein
von y ist.
Ebenso:
TB(x) :<-> Ey(T(y) & B(x,y)) ...x ist ein Tierbein.
Die Beweise für
„Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“
und
„Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdebeine Tierbeine“.
sind dann jedenfalls "strukturell identisch".
____________
[1] https://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/
[2] Von abgetrennten Gliedmaßen wollen wir hier einmal absehen.
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Fri, 4 Apr 2025 00:05:03 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?=
NUMBER: 29128
SIZE : 5485
---------------------------------------------
Am 02.04.2025 um 02:55 schrieb Moebius:
> Am 02.04.2025 um 00:37 schrieb Moebius:
>
>> Jetzt sollte es auch einfach sein, den Schluss
>>
>> „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“
>>
>> (nach Übersetzung in die/eine formale logisch-mathematische Sprache)
>> zu beweisen.
>>
>> Abkürzungsverzeichnis:
>>
>> P(x) ...x ist ein Pferd
>> T(x) ...x ist ein Tier
>> K(x) ...die Menge der Köpfe von x
>> PK(x) ...x ist ein Pferdekopf
>> TK(x) ...x ist ein Tierkopf
>>
>> Definitionen:
>>
>> PK(x) :<-> Ey(P(y) & x e K(y))
>> TK(x) :<-> Ey(T(y) & x e K(y))
>>
>> Es soll dann
>>
>> Ax(P(x) -> T(x)) |- Ax(PK(x) -> TK(x))
>>
>> bewiesen werden. Das ist ziemlich trivial:
>>
>> Wir nehmen Ax(P(x) -> T(x)) an. Des weiteren nehmen wir für ein
>> beliebiges a PK(a) an. Gemäß der Definition von PK gilt also Ey(P(y) &
>> a e K(y)). Sei b so ein "Element"; es gelte also P(b) & a e K(b) und
>> damit sowohl P(b) als auch a e K(b) (durch Anwendung(en) der &-
>> Beseitigung). Aus der Annahme Ax(P(x) -> T(x)) erhalten wir speziell
>> P(b) -> T(b). Und damit (mit P(b) unter Anwendung des MP) T(b). Also
>> erhalten wir T(b) & a e K(b) (durch Anwendung der &-Einführung). Es
>> gibt also ein y (nämlich b), so dass T(y) & a e K(y) gilt
>> (Existenzeinführung): Ey(T(y) & a e K(y)). Gemäß der Definition von TK
>> gilt also TK(a). Wir haben somit gezeigt: PK(a) -> TK(a)
>> (Implikationseinführung/Annahmebeseitigung). Da a beliebig gewählt
>> war, gilt: Ax(PK(x) -> TK(x)) (Alleinführung). qed
>
> "Intuitiv" ist das ziemlich "einleuchtend", so dass man viell. den
> Eindruck gewinnt, dass das so offensichtlich ist, dass ein expliziter
> Beweis eig. nicht nötig ist.
>
> Nichtsdestotrotz bringe hier noch einen _streng formalen_ Beweis für den
> Schluss (in einem Kalkül des sog. "natürlichen Schließens"). Es zeigt
> sich, dass dieser (wie der oben angegebene freestyle-Beweis) doch einige
> Schritte umfasst. :-P
>
> 1 (1) Ax(P(x) -> T(x)) A
> 2 (2) PK(a) A
> 2 (3) Ey(P(y) & a e K(y)) 2 Def. PK
> 4 (4) P(b) & a e K(b) A
> 4 (5) P(b) 4 &B
> 4 (6) a e K(b) 4 &B
> 1 (7) P(b) -> T(b) 1 AB
> 1,4 (8) T(b) 5,7 ->B
> 1,4 (9) T(b) & a e K(b) 8,6 &E
> 1,4 (10) Ey(T(y) & a e K(y)) 9 EE
> 1,2 (11) Ey(T(y) & a e K(y)) 3,4,10 EB
> 1,2 (12) TK(a) 11 Def. TK
> 1 (13) PK(a) -> TK(a) 2,12 ->E
> 1 (14) Ax(PK(x) -> TK(x)) 13 AE
>
> Wir haben also Ax(P(x) -> T(x)) |- Ax(PK(x) -> TK(x)) gezeigt. qed
>
> Wie man sieht, unterscheidet sich "echte Mathematik" doch sehr von der
> Mückenmatik, die im wesentlichen aus (unbewiesenen) Behauptungen (und
> fehlerhaften/unbeweisbaren "Schlüssen") besteht. (Unter anderem zeichnet
> sich die Mückenmatik durch die Abwesenheit von präzisen Definitionen für
> die meisten ihrer Schlüsselbegriffe aus.)
>
> Lit.: Gerhard Gentzen, Untersuchungen über das logische Schließen. I.
> In: Mathematische Zeitschrift. Band 39 (2), 1935, S. 176–210
Man kann das oben Gesagte/Dargelegte recht kompakt "zusammenfassen":
Wenn k ein/der Kopf eines Pferdes (also ein Pferdekopf) ist
und jedes Pferd ein Tier ist, dann ist k auch ein/der Kopf
eines Tieres (also ein Tierkopf).
>>> .
>>> .
>>> .
>>>
>>>
>>>
>>
>
>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Rainer Rosenthal
DATE : Fri, 4 Apr 2025 00:43:43 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27d?= =?UTF-8?Q?ivergenter_Teil=27?=
NUMBER: 29129
SIZE : 1915
---------------------------------------------
Am 03.04.2025 um 21:53 schrieb WM:
>>
>> versuchst Du, die Wortschöpfung 'divergenter Teil' mit Beispielen zu
>> erklären.
>
> Mangels mathematischer Fähigkeiten kannst Du nicht verstehen, dass "alle
> Terme, deren Nenner alle definierbaren (also endlichen) Ziffernfolgen
> enthalten" den divergenten Teil präzise beschreibt.
"divergenter Teil einer unendlichen Reihe" ist eine Erfindung von Dir,
eine Wortkombination ohne Bedeutung.
Deine "präzise Beschreibung" ist ein schlechter Witz.
Dein Spiel ist aus.
Gruß,
RR
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Fri, 4 Apr 2025 01:00:38 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?=
NUMBER: 29130
SIZE : 2895
---------------------------------------------
Am 04.04.2025 um 00:05 schrieb Moebius:
> Am 01.04.2025 um 11:53 schrieb Moebius:
>
>> Letztlich läuft das auf das Leibnizsche "substitutivity of identicals"
>> hinaus. Rein formal im Kontext der Prädikatenlogik zweiter Ordnung
>> definiert:
>>
>> a = b :<-> AF(Fa <-> Fb) .
>>
>> Dedekind: "Ein Ding a ist dasselbe wie b (identisch mit b), und b
>> dasselbe wie a, wenn alles, was von a gilt, auch von b, und wenn
>> alles, was von b gilt, auch von a gilt."
>
> Im Kontext der (einer) Mengenlehre (basierend auf FOPL statt FOPL=)
> kann man "Analoges" erreichen, indem man die Identität erst wie folgt
> definiert:
>
> a = b :<-> Ax(x e a <-> x e b) .
>
> Das ist aber nur "die halbe Miete", weil diese Definition nicht sicher
> stellt, dass auch
>
> a = b <-> Ax(a e x <-> b e x) (*)
>
> gilt. Letzteres muss man dann also mittels eines Axioms
> "fordern" (genauer mittels eines Axioms aus dem sich (*) ableiten lässt).
Von wegen "Identität kann man nicht definieren". Einfach nur dummes
Gerede. (Kant ist entschuldigt, denn der kannte (sic!) es nicht besser.)
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Fri, 4 Apr 2025 01:02:44 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?=
NUMBER: 29131
SIZE : 2610
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Am 01.04.2025 um 11:53 schrieb Moebius:
> Letztlich läuft das auf das Leibnizsche "substitutivity of identicals"
> hinaus. Rein formal im Kontext der Prädikatenlogik zweiter Ordnung
> definiert:
>
> a = b :<-> AF(Fa <-> Fb) .
>
> Dedekind: "Ein Ding a ist dasselbe wie b (identisch mit b), und b
> dasselbe wie a, wenn alles, was von a gilt, auch von b, und wenn alles,
> was von b gilt, auch von a gilt."
Im Kontext der (einer) Mengenlehre (basierend auf FOPL statt FOPL=) kann
man "Analoges" erreichen, indem man die Identität erst wie folgt definiert:
a = b :<-> Ax(x e a <-> x e b) .
Das ist aber nur "die halbe Miete", weil diese Definition nicht sicher
stellt, dass auch
a = b <-> Ax(a e x <-> b e x) (*)
gilt. Letzteres muss man dann also mittels eines Axioms "fordern"
(genauer mittels eines Axioms aus dem sich (*) ableiten lässt).
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Fri, 4 Apr 2025 01:04:09 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27d?= =?UTF-8?Q?ivergenter_Teil=27?=
NUMBER: 29132
SIZE : 2119
---------------------------------------------
Am 03.04.2025 um 23:25 schrieb Ralf Bader:
> On 04/03/2025 09:53 PM, WM wrote:
>
>> Mangels mathematischer Fähigkeiten kannst Du nicht verstehen, dass "alle
>> Terme, deren Nenner alle definierbaren (also endlichen) Ziffernfolgen
>> enthalten" den divergenten Teil präzise beschreibt.
>
> Was für ein unfaßbar saublöder Scheißdreck!
Jetzt, wo Du es sagst ...
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Fri, 4 Apr 2025 01:07:35 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27d?= =?UTF-8?Q?ivergenter_Teil=27?=
NUMBER: 29133
SIZE : 2402
---------------------------------------------
Am 04.04.2025 um 01:04 schrieb Moebius:
> Am 03.04.2025 um 23:25 schrieb Ralf Bader:
>> On 04/03/2025 09:53 PM, WM wrote:
>>
>>> Mangels mathematischer Fähigkeiten kannst Du nicht verstehen, dass "alle
>>> Terme, deren Nenner alle definierbaren (also endlichen) Ziffernfolgen
>>> enthalten" den divergenten Teil präzise beschreibt.
>>
>> Was für ein unfaßbar saublöder Scheißdreck!
>
> Jetzt, wo Du es sagst ...
Ich meine, dieses präpotente Arschloch sollte endlich mal seine dumme
Schnauze halten. Immer wenn er das Maul aufmacht, kommt nur Scheiße
raus. (Selten so einem hirnlosem Arschloch "begegnet".)
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Fri, 4 Apr 2025 01:16:15 +0200
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?=
NUMBER: 29134
SIZE : 2580
---------------------------------------------
Am 02.04.2025 um 02:55 schrieb Moebius:
> Wie man sieht, unterscheidet sich "echte Mathematik" doch sehr von der
> Mückenmatik, die im wesentlichen aus (unbewiesenen) Behauptungen (und
> fehlerhaften/unbeweisbaren "Schlüssen") besteht. (Unter anderem zeichnet
> sich die Mückenmatik durch die Abwesenheit von präzisen [also expliziten]
> Definitionen für die meisten ihrer Schlüsselbegriffe aus.)
Witzigerweise hat auch der gute RR bei seinem Beweisversuch auf eine
explizite Definition der "Begriffe" /Pferdekopf/ und /Tierkopf/
verzichtet. (*grins*)
Im Kontext dieses Threads ("Eine merkwürdige Stille // TH7 Definition
'nötig'") ein Kapitalverbrechen. (Jawoll!)
@RR: Das kannst Du besser!