A Example: $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

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num: 29140
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Tue, 1 Apr 2025 11:53:05 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?= NUMBER: 29130 SIZE : 5435 --------------------------------------------- Am 31.03.2025 um 15:18 schrieb Carlo XYZ: > Tipp: Leibniz lesen, nicht Kant. Zumindest in diesem Zusammenhang. Jep. Aber in diesem Zusammenhang ist auch NACH Leibniz und Kant noch "ein wenig" was passiert. Frege lesen. :-P Davon mal abgesehen, finde ich immer noch Dedekinds "Erklärung" bezüglich der Gleichheit "erfrischend", auch wenn er bei der Unterscheidung zwischen "Bezeichner" (Name, Term) und "Bezeichnetem", ein wenig ins Schleudern gerät (hier hat erst Frege den Sachverhalt ein für allemal geklärt): "Im Folgenden verstehe ich unter einem /Ding/ jeden Gegenstand unseres Denkens. Um bequem von den Dingen sprechen zu können, bezeichnet man sie durch Zeichen, z. B. durch Buchstaben, und man erlaubt sich, kurz von dem Ding a oder gar von a zu sprechen, wo man in Wahrheit das durch a bezeichnete Ding, keineswegs den Buchstaben a selbst meint. Ein Ding ist vollständig bestimmt durch alles das, was von ihm ausgesagt oder gedacht werden kann. Ein Ding a ist dasselbe wie b (identisch mit b), und b dasselbe wie a, wenn alles, was von a gedacht werden kann, auch von b, und wenn alles, was von b gilt, auch von a gedacht werden kann. Daß a und b nur Zeichen oder Namen für ein und dasselbe Ding sind, wird durch das Zeichen a = b, und ebenso durch b = a angedeutet. Ist außerdem b = c, ist also c ebenfalls, wie a, ein Zeichen für das mit b bezeichnete Ding, so ist auch a = c. Ist die obige Übereinstimmung des durch a bezeichneten Dinges mit dem durch b bezeichneten Dinge nicht vorhanden, so heißen diese Dinge a, b verschieden, a ist ein anderes Ding wie b, b ein anderes Ding wie a; es gibt irgend eine Eigenschaft, die dem einen zukommt, dem anderen nicht zukommt." [R. Dedekind im §1 seiner Schrift "Was sind und was sollen die Zahlen?" (1887)] Dazu zwei Anmerkungen. Etwas klarer wäre das oben Gesagte, wenn Dedekind, wie von Frege im Bereich der Logik angeregt, Anführungszeichen verwendet hätte, um von den Zeichen (Namen) "a" und "b" zu sprechen. Außerdem ist die "psychologische" Wendung "gedacht werden kann" hier irreführend und irrelevant. Hier also ein entsprechend modifizierter Text: "Im Folgenden verstehe ich unter einem /Ding/ jeden Gegenstand des Bereichs, den ich betrachte. Um bequem von den Dingen sprechen zu können, bezeichnet man sie durch Zeichen, z. B. durch Buchstaben, und man erlaubt sich, kurz von dem /Ding a/ oder gar von /a/ zu sprechen, wo man in Wahrheit das durch "a" bezeichnete Ding, keineswegs den Buchstaben "a" selbst meint. Ein Ding ist vollständig bestimmt durch alles das, was von ihm gilt. Ein Ding a ist dasselbe wie b (identisch mit b), und b dasselbe wie a, wenn alles, was von a gilt, auch von b, und wenn alles, was von b gilt, auch von a gilt. Daß "a" und "b" nur Zeichen oder Namen für ein und dasselbe Ding sind, wird durch das Zeichen "a = b", und ebenso durch "b = a" angedeutet. Ist außerdem b = c, ist also "c" ebenfalls, wie "a", ein Zeichen für das mit "b" bezeichnete Ding, so ist auch a = c. Ist die obige Übereinstimmung des durch "a" bezeichneten Dinges mit dem durch "b" bezeichneten Dinge nicht vorhanden, so heißen diese Dinge a, b verschieden, a ist ein anderes Ding wie b, b ein anderes Ding wie a; es gibt irgend eine Eigenschaft, die dem einen zukommt, dem anderen nicht zukommt." Letztlich läuft das auf das Leibnizsche "substitutivity of identicals" hinaus. Rein formal im Kontext der Prädikatenlogik zweiter Ordnung definiert: a = b :<-> AF(Fa <-> Fb) . Dedekind: "Ein Ding a ist dasselbe wie b (identisch mit b), und b dasselbe wie a, wenn alles, was von a gilt, auch von b, und wenn alles, was von b gilt, auch von a gilt." . . . ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Blacky Cat DATE : Tue, 1 Apr 2025 13:02:15 +0200 TEMA : Re: Kettenreaktion im Hessenberg-Labor NUMBER: 29131 SIZE : 1194 --------------------------------------------- Am 01.04.2025 um 10:11 schrieb Rainer Rosenthal: > Man verzeihe den wahrscheinlich falsch verwendeten Vergleich. Von Chemie > habe ich noch weniger Ahnung als von Mengenlehre. können eigentlich "Enten" riechen ? oder, können oo-keiten "Enden" ? hihi, jup. ... Blacky -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Carlo XYZ DATE : Tue, 1 Apr 2025 13:51:02 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Statistik_M=c3=a4rz_2025?= NUMBER: 29132 SIZE : 2470 --------------------------------------------- Group : de.sci.mathematik Statistics : from 1.3.2025 to 31.3.2025 ***** Users with most messages ***** num| Name | Nb Msg | size | or. | % ----|----------------------|--------|---------|-----|------------------| 1 | Moebius | 112 | 358.650 | 5 | 26,35% xxxxxxxxxx 2 | WM | 83 | 202.272 | 5 | 19,53% xxxxxxx 3 | Rainer Rosenthal | 80 | 146.245 | 7 | 18,82% xxxxxxx 4 | Blacky Cat | 67 | 162.371 | 5 | 15,76% xxxxx 5 | Martin Vaeth | 19 | 62.882 | 0 | 4,47% x 6 | joes | 16 | 54.801 | 0 | 3,76% x 7 | Ulrich D i e z | 13 | 39.043 | 0 | 3,06% x 8 | Carlo XYZ | 10 | 26.405 | 1 | 2,35% 9 | Tjark Weber | 4 | 7.453 | 4 | 0,94% 10 | Ralf Goertz | 4 | 9.865 | 1 | 0,94% 11 | Walter H. | 4 | 13.077 | 0 | 0,94% 12 | Ralf Bader | 3 | 6.650 | 0 | 0,71% 13 | Hans Crauel | 3 | 4.595 | 0 | 0,71% 14 | Stefan Ram | 2 | 5.273 | 2 | 0,47% 15 | Colin Paul de Gl ... | 2 | 256.180 | 1 | 0,47% 16 | Nikolaus Paul Ca ... | 2 | 7.091 | 0 | 0,47% 17 | Tom Bola | 1 | 1.156 | 1 | 0,24% ----|----------------------|--------|---------|-----|------------------| ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Tue, 1 Apr 2025 20:17:44 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?= NUMBER: 29133 SIZE : 6224 --------------------------------------------- Am 31.03.2025 um 01:37 schrieb Moebius: > Am 31.03.2025 um 01:04 schrieb Moebius: >> Am 31.03.2025 um 01:02 schrieb Moebius: >>> Am 31.03.2025 um 00:38 schrieb Moebius: >>> >>>> Der folgende offenbar gültige logische Schluss lässt sich nicht mit >>>> Hilfe des von Aristoteles gelehrten Systems (->Syllogismus) beweisen: >>>> >>>> „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“ >>> >>> Kann das hier jemand beweisen? :-) >> >> Hinweis: Das hat insbesondere auch etwas mit dem Thema "Definition" zu >> tun. Passt also ganz gut in den Thread. :-) > > Spoiler > > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > . > > Der springende Punkt ist natürlich die Definition (sic!) der Begriffe / > Pferdekopf/ und /Tierkopf/. > > Wenn man man die Begriffe P, T und K (/Pferd/, /Tier/ und /Kopf von/) > als undefinierte Grundbegriffe voraussetzt, kann man den oben erwähnten > Schluss (mit passenden Definitionen) leicht beweisen. Wir definieren: > > PK(x) :<-> Ey(P(y) & K(x,y)) ...x ist ein Pferdekopf > > wobei K(x,y) bedeuten soll "x ist ein Kopf von y". > > x ist also ein Pferdekopf, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein Kopf > von y ist. > > Ebenso: > > TK(x) :<-> Ey(T(y) & K(x,y)) ...x ist ein Tierkopf > > x ist also ein Tierkopf, wenn es ein Tier y gibt, so dass x ein Kopf von > y ist. Man ist vielleicht versucht, hier statt der Relation K ("... ist ein Kopf von ...") eine Funktion ("der Kopf von ...") zu verwenden und dann PK ("Pferdekopf") und TK ("Tierkopf") wie folgt zu definieren: PK(x) :<-> Ey(P(y) & x = K(y)) "x ist ein Pferdekopf, gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x ist." und TK(x) :<-> Ey(P(y) & x = K(y)) , "x ist ein Tierkopf, gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x ist." Das wären aber keine "adäquaten" Definitionen für /Pferdekopf/ bzw. /Tierkopf/, weil es eine Tatsache ist, dass es Tiere ohne Köpfe gibt (z. B. Schwämme, Quallen oder Seesterne) und ebenso (als Fehlbildungen) Tiere mit mehreren Köpfen. Wenn also x so ein Tier wäre, was wäre dann F(x) (wenn F(x) DER Kopf des Tiers x sein soll)? Tatsächlich basieren also diese Definitionen auf einer (versteckten) "Zusatzannahme", nämlich dass alle Pferde/Tiere genau einen Kopf haben (was -wie wir eben gesehen habe- FAKTISCH nicht immer der Fall ist). Wir wollen diese Annahme NICHT machen, und statt einer Funktion eine Relation benutzen, um die Begriffe /Pferdekopf/ und /Tierkopf/ zu definieren. (Das ist m. E. auch aus einem weiteren Grund hier vorzuziehen: denn damit bewegen wir uns im Rahmen der elementaren Prädikatenlogik erster Ordnung _ohne_ "Funktionen", also der "elementarsten Form" der Prädikatenlogik. Vgl. dazu [1].) Wir definieren also - wie gehabt: PK(x) :<-> Ey(P(y) & K(x,y)) ...x ist ein Pferdekopf wobei K(x,y) bedeuten soll "x ist ein Kopf von y". x ist also ein Pferdekopf, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein Kopf von y ist. Ebenso: TK(x) :<-> Ey(T(y) & K(x,y)) ...x ist ein Tierkopf Tatsächlich ist dieser Ansatz auch noch in einer anderen Hinsicht "vorteilhaft". Er funktioniert nämlich auch für z. B. „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdebeine Tierbeine“. Hier würde ja auch eine (versteckte) Zusatzannahme wie "alle Pferde/Tiere haben genau ein Bein", zweifelsfrei im Widerspruch mit den Fakten stehen. (Die entsprechenden Definitionen wären als in keinem Fall "adäquat".) Die folgenden Definitionen erscheinen aber "adäquat" zu sein [2]: PB(x) :<-> Ey(P(y) & B(x,y)) ...x ist ein Pferdebein wobei B(x,y) bedeuten soll "x ist ein Bein von y". x ist also ein Pferdebein, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein Bein von y ist. Ebenso: TB(x) :<-> Ey(T(y) & B(x,y)) ...x ist ein Tierbein. Die Beweise für „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“ und „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdebeine Tierbeine“. sind dann jedenfalls "strukturell identisch". ____________ [1] https://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/ [2] Von abgetrennten Gliedmaßen wollen wir hier einmal absehen. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Tue, 1 Apr 2025 20:34:32 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?= NUMBER: 29134 SIZE : 5499 --------------------------------------------- Am 01.04.2025 um 20:17 schrieb Moebius: > Am 31.03.2025 um 01:37 schrieb Moebius: >> Am 31.03.2025 um 01:04 schrieb Moebius: >>> Am 31.03.2025 um 01:02 schrieb Moebius: >>>> Am 31.03.2025 um 00:38 schrieb Moebius: >>>> >>>>> Der folgende offenbar gültige logische Schluss lässt sich nicht mit >>>>> Hilfe des von Aristoteles gelehrten Systems (->Syllogismus) beweisen: >>>>> >>>>> „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“ >>>> >>>> Kann das hier jemand beweisen? :-) >>> >>> Hinweis: Das hat insbesondere auch etwas mit dem Thema "Definition" >>> zu tun. Passt also ganz gut in den Thread. :-) >> >> Spoiler >> >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> . >> >> Der springende Punkt ist natürlich die Definition (sic!) der >> Begriffe / Pferdekopf/ und /Tierkopf/. >> >> Wenn man man die Begriffe P, T und K (/Pferd/, /Tier/ und /Kopf von/) >> als undefinierte Grundbegriffe voraussetzt, kann man den oben >> erwähnten Schluss (mit passenden Definitionen) leicht beweisen. Wir >> definieren: >> >> PK(x) :<-> Ey(P(y) & K(x,y)) ...x ist ein Pferdekopf >> >> wobei K(x,y) bedeuten soll "x ist ein Kopf von y". >> >> x ist also ein Pferdekopf, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein >> Kopf von y ist. >> >> Ebenso: >> >> TK(x) :<-> Ey(T(y) & K(x,y)) ...x ist ein Tierkopf >> >> x ist also ein Tierkopf, wenn es ein Tier y gibt, so dass x ein Kopf >> von y ist. > > Man ist vielleicht versucht, hier statt der Relation K ("... ist ein > Kopf von ...") eine Funktion ("der Kopf von ...") zu verwenden und dann > PK ("Pferdekopf") und TK ("Tierkopf") wie folgt zu definieren: > > PK(x) :<-> Ey(P(y) & x = K(y)) > "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x > ist." > > und > TK(x) :<-> Ey(T(y) & x = K(y)) , > "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x ist." > > Das wären aber keine "adäquaten" Definitionen für /Pferdekopf/ bzw. / > Tierkopf/, weil es eine Tatsache ist, dass es Tiere ohne Köpfe gibt (z. > B. Schwämme, Quallen oder Seesterne) und ebenso (als Fehlbildungen) > Tiere mit mehreren Köpfen. Wenn also x so ein Tier wäre, was wäre dann > F(x) (wenn F(x) DER Kopf des Tiers x sein soll)? > > Tatsächlich basieren also diese Definitionen auf einer (versteckten) > "Zusatzannahme", nämlich dass alle Pferde/Tiere genau einen Kopf haben > (was -wie wir eben gesehen habe- FAKTISCH nicht immer der Fall ist). Witzig ist, dass aber die Grundidee dieser alternativen Definitionen _im Kontext der Mengenlehre_ beibehalten werden kann, und dann offenbar adäquate Definitionen der Begriffe /Pferdekopf/ und /Tierkopf/ ermöglicht. :-) K ist dabei weiterhin eine Funktion (jetzt aber im mengentheoretischen Sinne), und zwar so, dass K(a) _die MENGE der Köpfe von a_ ist. (Dass diese Menge leer sein kann oder mehrerer Elemente enthalten kann, ist dann kein Problem, sondern ein Feature!) Wir können dann definieren: PK(x) :<-> Ey(P(y) & x e K(y)) "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd y gibt, so dass x ein Kopf von y ist." und TK(x) :<-> Ey(T(y) & x e K(y)) , "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Tier y gibt, so dass x ein Kopf von y ist." Vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Korrespondenz_(Mathematik). ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Tue, 1 Apr 2025 21:02:11 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?= NUMBER: 29135 SIZE : 7217 --------------------------------------------- Am 01.04.2025 um 20:34 schrieb Moebius: > Am 01.04.2025 um 20:17 schrieb Moebius: >> Am 31.03.2025 um 01:37 schrieb Moebius: >>> Am 31.03.2025 um 01:04 schrieb Moebius: >>>> Am 31.03.2025 um 01:02 schrieb Moebius: >>>>> Am 31.03.2025 um 00:38 schrieb Moebius: >>>>> >>>>>> Der folgende offenbar gültige logische Schluss lässt sich nicht >>>>>> mit Hilfe des von Aristoteles gelehrten Systems (->Syllogismus) >>>>>> beweisen: >>>>>> >>>>>> „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“ >>>>> >>>>> Kann das hier jemand beweisen? :-) >>>> >>>> Hinweis: Das hat insbesondere auch etwas mit dem Thema "Definition" >>>> zu tun. Passt also ganz gut in den Thread. :-) >>> >>> Spoiler >>> >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> >>> Der springende Punkt ist natürlich die Definition (sic!) der >>> Begriffe / Pferdekopf/ und /Tierkopf/. >>> >>> Wenn man man die Begriffe P, T und K (/Pferd/, /Tier/ und /Kopf von/) >>> als undefinierte Grundbegriffe voraussetzt, kann man den oben >>> erwähnten Schluss (mit passenden Definitionen) leicht beweisen. Wir >>> definieren: >>> >>> PK(x) :<-> Ey(P(y) & K(x,y)) ...x ist ein Pferdekopf >>> >>> wobei K(x,y) bedeuten soll "x ist ein Kopf von y". >>> >>> x ist also ein Pferdekopf, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein >>> Kopf von y ist. >>> >>> Ebenso: >>> >>> TK(x) :<-> Ey(T(y) & K(x,y)) ...x ist ein Tierkopf >>> >>> x ist also ein Tierkopf, wenn es ein Tier y gibt, so dass x ein Kopf >>> von y ist. >> >> Man ist vielleicht versucht, hier statt der Relation K ("... ist ein >> Kopf von ...") eine Funktion ("der Kopf von ...") zu verwenden und >> dann PK ("Pferdekopf") und TK ("Tierkopf") wie folgt zu definieren: >> >> PK(x) :<-> Ey(P(y) & x = K(y)) >> "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x >> ist." >> >> und >> TK(x) :<-> Ey(T(y) & x = K(y)) , >> "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x ist." >> >> Das wären aber keine "adäquaten" Definitionen für /Pferdekopf/ bzw. / >> Tierkopf/, weil es eine Tatsache ist, dass es Tiere ohne Köpfe gibt >> (z. B. Schwämme, Quallen oder Seesterne) und ebenso (als >> Fehlbildungen) Tiere mit mehreren Köpfen. Wenn also x so ein Tier >> wäre, was wäre dann F(x) (wenn F(x) DER Kopf des Tiers x sein soll)? >> >> Tatsächlich basieren also diese Definitionen auf einer (versteckten) >> "Zusatzannahme", nämlich dass alle Pferde/Tiere genau einen Kopf haben >> (was -wie wir eben gesehen habe- FAKTISCH nicht immer der Fall ist). > > Witzig ist, dass aber die Grundidee dieser alternativen Definitionen _im > Kontext der Mengenlehre_ beibehalten werden kann, und dann offenbar > adäquate Definitionen der Begriffe /Pferdekopf/ und /Tierkopf/ > ermöglicht. :-) > > K ist dabei weiterhin eine Funktion (jetzt aber im mengentheoretischen > Sinne), und zwar so, dass K(a) _die MENGE der Köpfe von a_ ist. (Dass > diese Menge leer sein kann oder mehrerer Elemente enthalten kann, ist > dann kein Problem, sondern ein Feature!) > > Wir können dann definieren: > > PK(x) :<-> Ey(P(y) & x e K(y)) > "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd y gibt, so dass x > ein Kopf von y ist." > und > TK(x) :<-> Ey(T(y) & x e K(y)) , > "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Tier y gibt, so dass x ein > Kopf von y ist." > > Vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Korrespondenz_(Mathematik). Jetzt sollte es auch einfach sein, den Schluss „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“ (nach Übersetzung in die formale logisch-mathematische Sprache) zu beweisen. Abkürzungsverzeichnis: P(x) ...x ist ein Pferd T(x) ...x ist ein Tier K(x) ...die Menge der Köpfe von x PK(x) ...x ist ein Pferdekopf TK(x) ...x ist ein Tierkopf Definitionen: PK(x) :<-> Ey(P(y) & x e K(y)) TK(x) :<-> Ey(T(y) & x e K(y)) Es soll dann Ax(P(x) -> T(x)) |- Ax(PK(x) -> TK(x)) bewiesen werden. Ziemlich trivial: Wir nehmen Ax(P(x) -> T(x)) an. Des weiteren nehmen wir für ein beliebiges b PK(b) an. Gemäß der Definition von PK gilt also Ey(P(y) & b e K(y)). Sei a so ein "Element"; es gelte also P(a) & b e K(a) und damit sowohl P(a) als auch b e K(a) (durch Anwendung(en) der &-Elimination). Aus der Annahme Ax(P(x) -> T(x)) erhalten wir speziell P(a) -> T(a). Und damit (mit P(a) unter Anwendung des MP) T(a). Also erhalten wir T(a) & b e K(a) (durch Anwendung der &-Einführung). Es gibt also ein y (nämlich a), so dass T(y) & b e K(y) gilt (Existenzeinführung): Ey(T(y) & b e K(y)). Gemäß der Definition von TK gilt also TK(b). Wir haben somit gezeigt: PK(b) -> TK(b) (Implikationseinführung/Annahmebeseitigung). Da b beliebig gewählt war, gilt: Ax(PK(x) -> TK(x)) (Alleinführung). qed . . . ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Tue, 1 Apr 2025 21:09:13 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?= NUMBER: 29136 SIZE : 5931 --------------------------------------------- Am 01.04.2025 um 20:34 schrieb Moebius: > Am 01.04.2025 um 20:17 schrieb Moebius: >> Am 31.03.2025 um 01:37 schrieb Moebius: >>> Am 31.03.2025 um 01:04 schrieb Moebius: >>>> Am 31.03.2025 um 01:02 schrieb Moebius: >>>>> Am 31.03.2025 um 00:38 schrieb Moebius: >>>>> >>>>>> Der folgende offenbar gültige logische Schluss lässt sich nicht >>>>>> mit Hilfe des von Aristoteles gelehrten Systems (->Syllogismus) >>>>>> beweisen: >>>>>> >>>>>> „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“ >>>>> >>>>> Kann das hier jemand beweisen? :-) >>>> >>>> Hinweis: Das hat insbesondere auch etwas mit dem Thema "Definition" >>>> zu tun. Passt also ganz gut in den Thread. :-) >>> >>> Spoiler >>> >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> . >>> >>> Der springende Punkt ist natürlich die Definition (sic!) der >>> Begriffe /Pferdekopf/ und /Tierkopf/. >>> >>> Wenn man man die Begriffe P, T und K (/Pferd/, /Tier/ und /Kopf von/) >>> als undefinierte Grundbegriffe voraussetzt, kann man den oben >>> erwähnten Schluss (mit passenden Definitionen) leicht beweisen. Wir >>> definieren: >>> >>> PK(x) :<-> Ey(P(y) & K(x,y)) ...x ist ein Pferdekopf >>> >>> wobei K(x,y) bedeuten soll "x ist ein Kopf von y". >>> >>> x ist also ein Pferdekopf, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein >>> Kopf von y ist. >>> >>> Ebenso: >>> >>> TK(x) :<-> Ey(T(y) & K(x,y)) ...x ist ein Tierkopf >>> >>> x ist also ein Tierkopf, wenn es ein Tier y gibt, so dass x ein Kopf >>> von y ist. >> >> Man ist vielleicht versucht, hier statt der Relation K ("... ist ein >> Kopf von ...") eine Funktion ("der Kopf von ...") zu verwenden und >> dann PK ("Pferdekopf") und TK ("Tierkopf") wie folgt zu definieren: >> >> PK(x) :<-> Ey(P(y) & x = K(y)) >> "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x >> ist." >> >> und >> TK(x) :<-> Ey(T(y) & x = K(y)) , >> "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x ist." >> >> Das wären aber keine "adäquaten" Definitionen für /Pferdekopf/ bzw. / >> Tierkopf/, weil es eine Tatsache ist, dass es Tiere ohne Köpfe gibt >> (z. B. Schwämme, Quallen oder Seesterne) und ebenso (als >> Fehlbildungen) Tiere mit mehreren Köpfen. Wenn also x so ein Tier >> wäre, was wäre dann F(x) (wenn F(x) DER Kopf des Tiers x sein soll)? >> >> Tatsächlich basieren also diese Definitionen auf einer (versteckten) >> "Zusatzannahme", nämlich dass alle Pferde/Tiere genau einen Kopf haben >> (was -wie wir eben gesehen habe- FAKTISCH nicht immer der Fall ist). > > Witzig ist, dass aber die Grundidee dieser alternativen Definitionen _im > Kontext der Mengenlehre_ beibehalten werden kann, und dann offenbar > adäquate Definitionen der Begriffe /Pferdekopf/ und /Tierkopf/ > ermöglicht. :-) > > K ist dabei weiterhin eine Funktion (jetzt aber im mengentheoretischen > Sinne), und zwar so, dass K(a) _die MENGE der Köpfe von a_ ist. (Dass > diese Menge leer sein kann oder mehrerer Elemente enthalten kann, ist > dann kein Problem, sondern ein Feature!) > > Wir können dann definieren: > > PK(x) :<-> Ey(P(y) & x e K(y)) > "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd y gibt, so dass x > ein Kopf von y ist." Viell. etwas konziser formuliert: "x ist ein Pferdekopf gdw. x (ein) Kopf eines Pferds ist". :-) > und > TK(x) :<-> Ey(T(y) & x e K(y)) , > "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Tier y gibt, so dass x ein > Kopf von y ist." "x ist ein Tierkopf gdw. x (ein) Kopf eines Tiers ist". :-) So, jetzt habamas aber. . . . ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Rainer Rosenthal DATE : Tue, 1 Apr 2025 22:56:58 +0200 TEMA : Re: Kettenreaktion im Hessenberg-Labor NUMBER: 29137 SIZE : 1220 --------------------------------------------- Am 01.04.2025 um 13:02 schrieb Blacky Cat: > > hihi, jup. ... > Rechne mal bitte nach, ich glaube es stimmt: > # > # Check: 640 < 6469632 > # ------------------------------------------------- > # natürlich: ja, Hessenberg: nein, Hessenberg^2: ja > # > # > # Check: 1152 < 398848 > # ------------------------------------------------- > # natürlich: ja, Hessenberg: ja, Hessenberg^2: nein > # Gruß, Rainer ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Wed, 2 Apr 2025 00:37:27 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?= NUMBER: 29138 SIZE : 8463 --------------------------------------------- Am 01.04.2025 um 21:02 schrieb Moebius: > Am 01.04.2025 um 20:34 schrieb Moebius: >> Am 01.04.2025 um 20:17 schrieb Moebius: >>> Am 31.03.2025 um 01:37 schrieb Moebius: >>>> Am 31.03.2025 um 01:04 schrieb Moebius: >>>>> Am 31.03.2025 um 01:02 schrieb Moebius: >>>>>> Am 31.03.2025 um 00:38 schrieb Moebius: >>>>>> >>>>>>> Der folgende offenbar gültige logische Schluss lässt sich nicht >>>>>>> mit Hilfe des von Aristoteles gelehrten Systems (->Syllogismus) >>>>>>> beweisen: >>>>>>> >>>>>>> „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“ >>>>>> >>>>>> Kann das hier jemand beweisen? :-) >>>>> >>>>> Hinweis: Das hat insbesondere auch etwas mit dem Thema "Definition" >>>>> zu tun. Passt also ganz gut in den Thread. :-) >>>> >>>> Spoiler >>>> >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> . >>>> >>>> Der springende Punkt ist natürlich die Definition (sic!) der >>>> Begriffe / Pferdekopf/ und /Tierkopf/. >>>> >>>> Wenn man man die Begriffe P, T und K (/Pferd/, /Tier/ und /Kopf >>>> von/) als undefinierte Grundbegriffe voraussetzt, kann man den oben >>>> erwähnten Schluss (mit passenden Definitionen) leicht beweisen. Wir >>>> definieren: >>>> >>>> PK(x) :<-> Ey(P(y) & K(x,y)) ...x ist ein Pferdekopf >>>> >>>> wobei K(x,y) bedeuten soll "x ist ein Kopf von y". >>>> >>>> x ist also ein Pferdekopf, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein >>>> Kopf von y ist. >>>> >>>> Ebenso: >>>> >>>> TK(x) :<-> Ey(T(y) & K(x,y)) ...x ist ein Tierkopf >>>> >>>> x ist also ein Tierkopf, wenn es ein Tier y gibt, so dass x ein Kopf >>>> von y ist. >>> >>> Man ist vielleicht versucht, hier statt der Relation K ("... ist ein >>> Kopf von ...") eine Funktion ("der Kopf von ...") zu verwenden und >>> dann PK ("Pferdekopf") und TK ("Tierkopf") wie folgt zu definieren: >>> >>> PK(x) :<-> Ey(P(y) & x = K(y)) >>> "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x >>> ist." >>> >>> und >>> TK(x) :<-> Ey(T(y) & x = K(y)) , >>> "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x >>> ist." >>> >>> Das wären aber keine "adäquaten" Definitionen für /Pferdekopf/ bzw. / >>> Tierkopf/, weil es eine Tatsache ist, dass es Tiere ohne Köpfe gibt >>> (z. B. Schwämme, Quallen oder Seesterne) und ebenso (als >>> Fehlbildungen) Tiere mit mehreren Köpfen. Wenn also x so ein Tier >>> wäre, was wäre dann F(x) (wenn F(x) DER Kopf des Tiers x sein soll)? >>> >>> Tatsächlich basieren also diese Definitionen auf einer (versteckten) >>> "Zusatzannahme", nämlich dass alle Pferde/Tiere genau einen Kopf >>> haben (was -wie wir eben gesehen habe- FAKTISCH nicht immer der Fall >>> ist). >> >> Witzig ist, dass aber die Grundidee dieser alternativen Definitionen >> _im Kontext der Mengenlehre_ beibehalten werden kann, und dann >> offenbar adäquate Definitionen der Begriffe /Pferdekopf/ und / >> Tierkopf/ ermöglicht. :-) >> >> K ist dabei weiterhin eine Funktion (jetzt aber im mengentheoretischen >> Sinne), und zwar so, dass K(a) _die MENGE der Köpfe von a_ ist. (Dass >> diese Menge leer sein kann oder mehrerer Elemente enthalten kann, ist >> dann kein Problem, sondern ein Feature!) >> >> Wir können dann definieren: >> >> PK(x) :<-> Ey(P(y) & x e K(y)) >> "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd y gibt, so dass >> x ein Kopf von y ist." >> und >> TK(x) :<-> Ey(T(y) & x e K(y)) , >> "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Tier y gibt, so dass x >> ein Kopf von y ist." >> >> Vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Korrespondenz_(Mathematik). > > Jetzt sollte es auch einfach sein, den Schluss > > „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“ > > (nach Übersetzung in die formale logisch-mathematische Sprache) zu > beweisen. > > Abkürzungsverzeichnis: > > P(x) ...x ist ein Pferd > T(x) ...x ist ein Tier > K(x) ...die Menge der Köpfe von x > PK(x) ...x ist ein Pferdekopf > TK(x) ...x ist ein Tierkopf > > Definitionen: > > PK(x) :<-> Ey(P(y) & x e K(y)) > TK(x) :<-> Ey(T(y) & x e K(y)) > > Es soll dann > > Ax(P(x) -> T(x)) |- Ax(PK(x) -> TK(x)) > > bewiesen werden. > > Ziemlich trivial: Wir nehmen Ax(P(x) -> T(x)) an. Des weiteren nehmen > wir für ein beliebiges b PK(b) an. Gemäß der Definition von PK gilt also > Ey(P(y) & b e K(y)). Sei a so ein "Element"; es gelte also P(a) & b e > K(a) und damit sowohl P(a) als auch b e K(a) (durch Anwendung(en) der &- > Elimination). Aus der Annahme Ax(P(x) -> T(x)) erhalten wir speziell > P(a) -> T(a). Und damit (mit P(a) unter Anwendung des MP) T(a). Also > erhalten wir T(a) & b e K(a) (durch Anwendung der &-Einführung). Es gibt > also ein y (nämlich a), so dass T(y) & b e K(y) gilt > (Existenzeinführung): Ey(T(y) & b e K(y)). Gemäß der Definition von TK > gilt also TK(b). Wir haben somit gezeigt: PK(b) -> TK(b) > (Implikationseinführung/Annahmebeseitigung). Da b beliebig gewählt war, > gilt: Ax(PK(x) -> TK(x)) (Alleinführung). qed Die Auswahl der Terme war wohl nicht so toll, sorry. Viell. besser so: Wir nehmen Ax(P(x) -> T(x)) an. Des weiteren nehmen wir für ein beliebiges a PK(a) an. Gemäß der Definition von PK gilt also Ey(P(y) & a e K(y)). Sei b so ein "Element"; es gelte also P(b) & a e K(b) und damit sowohl P(b) als auch a e K(b) (durch Anwendung(en) der &-Elimination). Aus der Annahme Ax(P(x) -> T(x)) erhalten wir speziell P(b) -> T(b). Und damit (mit P(b) unter Anwendung des MP) T(b). Also erhalten wir T(b) & a e K(b) (durch Anwendung der &-Einführung). Es gibt also ein y (nämlich b), so dass T(y) & a e K(y) gilt (Existenzeinführung): Ey(T(y) & a e K(y)). Gemäß der Definition von TK gilt also TK(a). Wir haben somit gezeigt: PK(a) -> TK(a) (Implikationseinführung/Annahmebeseitigung). Da a beliebig gewählt war, gilt: Ax(PK(x) -> TK(x)) (Alleinführung). qed > . > . > . > > > ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Wed, 2 Apr 2025 02:55:26 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?= NUMBER: 29139 SIZE : 4883 --------------------------------------------- Am 02.04.2025 um 00:37 schrieb Moebius: > Jetzt sollte es auch einfach sein, den Schluss > > „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“ > > (nach Übersetzung in die/eine formale logisch-mathematische Sprache) zu > beweisen. > > Abkürzungsverzeichnis: > > P(x) ...x ist ein Pferd > T(x) ...x ist ein Tier > K(x) ...die Menge der Köpfe von x > PK(x) ...x ist ein Pferdekopf > TK(x) ...x ist ein Tierkopf > > Definitionen: > > PK(x) :<-> Ey(P(y) & x e K(y)) > TK(x) :<-> Ey(T(y) & x e K(y)) > > Es soll dann > > Ax(P(x) -> T(x)) |- Ax(PK(x) -> TK(x)) > > bewiesen werden. Das ist ziemlich trivial: > > Wir nehmen Ax(P(x) -> T(x)) an. Des weiteren nehmen wir für ein > beliebiges a PK(a) an. Gemäß der Definition von PK gilt also Ey(P(y) & a > e K(y)). Sei b so ein "Element"; es gelte also P(b) & a e K(b) und damit > sowohl P(b) als auch a e K(b) (durch Anwendung(en) der &-Beseitigung). > Aus der Annahme Ax(P(x) -> T(x)) erhalten wir speziell P(b) -> T(b). Und > damit (mit P(b) unter Anwendung des MP) T(b). Also erhalten wir T(b) & a > e K(b) (durch Anwendung der &-Einführung). Es gibt also ein y (nämlich > b), so dass T(y) & a e K(y) gilt (Existenzeinführung): Ey(T(y) & a e > K(y)). Gemäß der Definition von TK gilt also TK(a). Wir haben somit > gezeigt: PK(a) -> TK(a) (Implikationseinführung/Annahmebeseitigung). Da > a beliebig gewählt war, gilt: Ax(PK(x) -> TK(x)) (Alleinführung). qed "Intuitiv" ist das ziemlich "einleuchtend", so dass man viell. den Eindruck gewinnt, dass das so offensichtlich ist, dass ein expliziter Beweis eig. nicht nötig ist. Nichtsdestotrotz bringe hier noch einen _streng formalen_ Beweis für den Schluss (in einem Kalkül des sog. "natürlichen Schließens"). Es zeigt sich, dass dieser (wie der oben angegebene freestyle-Beweis) doch einige Schritte umfasst. :-P 1 (1) Ax(P(x) -> T(x)) A 2 (2) PK(a) A 2 (3) Ey(P(y) & a e K(y)) 2 Def. PK 4 (4) P(b) & a e K(b) A 4 (5) P(b) 4 &B 4 (6) a e K(b) 4 &B 1 (7) P(b) -> T(b) 1 AB 1,4 (8) T(b) 5,7 ->B 1,4 (9) T(b) & a e K(b) 8,6 &E 1,4 (10) Ey(T(y) & a e K(y)) 9 EE 1,2 (11) Ey(T(y) & a e K(y)) 3,4,10 EB 1,2 (12) TK(a) 11 Def. TK 1 (13) PK(a) -> TK(a) 2,12 ->E 1 (14) Ax(PK(x) -> TK(x)) 13 AE Wir haben also Ax(P(x) -> T(x)) |- Ax(PK(x) -> TK(x)) gezeigt. qed Wie man sieht, unterscheidet sich "echte Mathematik" doch sehr von der Mückenmatik, die im wesentlichen aus (unbewiesenen) Behauptungen (und fehlerhaften/unbeweisbaren "Schlüssen") besteht. (Unter anderem zeichnet sich die Mückenmatik durch die Abwesenheit von präzisen Definitionen für die meisten ihrer Schlüsselbegriffe aus.) Lit.: Gerhard Gentzen, Untersuchungen über das logische Schließen. I. In: Mathematische Zeitschrift. Band 39 (2), 1935, S. 176–210 >> . >> . >> . >> >> >> >