A Example:

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

parsed lines: 0
 
 
 
connected.
num: 28121


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 00:05:39 +0100
TEMA  : Re: QuanTorenFrage
NUMBER: 28111
SIZE  : 2984
---------------------------------------------
On 13.01.2025 23:54, joes wrote:
> Am Mon, 13 Jan 2025 23:43:03 +0100 schrieb WM:
>> On 13.01.2025 22:02, joes wrote:
>>> Am Mon, 13 Jan 2025 18:00:56 +0100 schrieb WM:
>>>> On 13.01.2025 14:11, Moebius wrote:
>>>>
>>>>> es gilt für jede natürliche Zahl n: n e {1, ..., n}.
>>>>> Oder kennst Du eine, für die das nicht gilt?
>>>> Nein, ich kenne aber genug Mathematik, um zu wissen, dass man nicht
>>>> alle Zahlen kennen kann, wenn es eien aktual unendliche Menge ℕ gibt.
>>> Doch. Du schreibst doch selbst andauernd A n e N.
>> Das ist unabhängig von der Kenntnis dieser Zahlen.
>> Wenn auf jede erkennbare natürliche Zahl noch unendlich viele Zahlen
>> folgen, wie Du es akzeptierst, dann folgt allein aus dieser Prämisse,
>> dass unendlich viele natürliche Zahlen auf alle erkennbaren folgen. Hier
>> ist also die Quantorenvertauschung beweisbar gerechtfertigt.
> Nein, das folgt nicht. Es sind nicht die gleichen Zahlen, die folgen.

Ein unendlicher Kern besteht aus genau denselben Zahlen. Dass mal mehr 
mal weniger Zahlen folgen, ist deswegen irrelevant.
> 
>> Beweis: Wäre es nicht der Fall, dass auf alle erkennbaren natürlichen
>> Zahlen unendlich viele natürliche Zahlen folgen, dann dürfte es zwischen
>> den erkennbaren natürlichen Zahlen und ω nicht unendlich viele
>> natürliche Zahlen geben.
> Es gibt ja auch keine endliche Zahl größer als alle anderen.

Es gibt aber viele endliche Zahlen größer als jede definierbare Zahl.

Gruß, WM
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 00:28:45 +0100
TEMA  : Re: QuanTorenFrage
NUMBER: 28112
SIZE  : 2919
---------------------------------------------
Am 13.01.2025 um 18:44 schrieb Moebius:
> Am 13.01.2025 um 18:33 schrieb WM:
>> On 13.01.2025 18:14, Moebius wrote:
>>> Am 13.01.2025 um 18:00 schrieb WM:
>>>> On 13.01.2025 14:11, Moebius wrote:
>>>>
>>>>> es gilt für jede natürliche Zahl n: n e {1, ..., n}.
>>>>>
>>>>> Oder kennst Du eine, für die das nicht gilt?
>>>>
>>>> Nein
>>>
>>> Fein. Glaubst Du, dass es so eine natürliche Zahl gibt?
>>
>> Wenn ℕ eine Menge ist, dann gibt es viele solche Zahlen 
> 
> Nein, es gibt KEINE solche Zahl (und IN ist bekanntlich eine Menge*).
> 
> SATZ: An e IN: n e {1, ..., n}.
> 
> BEWEIS (nimm das doch endlich mal zur Kenntnis, Du dummes Ar*och):
> 
> Aus {1, ..., n} := {m e IN : m <= n} (n e IN) und An e IN: n <= n FOLGT 
> [mit Ay(y e {x e A : P(x)} <-> y e A & P(y))] sofort An e IN: n e 
> {1, ..., n}. qed

Alternativ (wenn auch formal etwas vage): {1, ..., n} := {m : m = 1 v 
... v m = n} (n e IN).

Dann gilt (für alle x und n e IN): x e {1, ..., n} gdw. x = 1 v ... v x = n.

Vielleicht verstehst sogar Du dummes Ar*loch, dass daraus sofort n e {1, 
..., n} (für alle n e IN) folgt.

> Und jetzt geh scheißen, Mückenheim, oder lass Dich -alternativ- endlich 
> einweisen.
> 
> EOD
> 
> _____________________________________________________________________
> 
> *) Hinweis, im Kontext der "reinen" Mengenlehre (z. B. ZF(C)), also dem 
> aktuellen Kontext, ist alles eine Menge; also insbesondere auch IN.
> 
> .
> .
> .
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 00:39:57 +0100
TEMA  : Re: QuanTorenFrage
NUMBER: 28113
SIZE  : 3123
---------------------------------------------
Am 14.01.2025 um 00:28 schrieb Moebius:
> Am 13.01.2025 um 18:44 schrieb Moebius:
>> Am 13.01.2025 um 18:33 schrieb WM:
>>> On 13.01.2025 18:14, Moebius wrote:
>>>> Am 13.01.2025 um 18:00 schrieb WM:
>>>>> On 13.01.2025 14:11, Moebius wrote:
>>>>>
>>>>>> es gilt für jede natürliche Zahl n: n e {1, ..., n}.
>>>>>>
>>>>>> Oder kennst Du eine, für die das nicht gilt?
>>>>>
>>>>> Nein
>>>>
>>>> Fein. Glaubst Du, dass es so eine natürliche Zahl gibt?
>>>
>>> Wenn ℕ eine Menge ist, dann gibt es viele solche Zahlen 
>>
>> Nein, es gibt KEINE solche Zahl (und IN ist bekanntlich eine Menge*).
>>
>> SATZ: An e IN: n e {1, ..., n}.
>>
>> BEWEIS (nimm das doch endlich mal zur Kenntnis, Du dummes Ar*och):
>>
>> Aus {1, ..., n} := {m e IN : m <= n} (n e IN) und An e IN: n <= n 
>> FOLGT [mit Ay(y e {x e A : P(x)} <-> y e A & P(y))] sofort An e IN: n 
>> e {1, ..., n}. qed
> 
> Alternativ (wenn auch formal etwas vage): {1, ..., n} := {m : m = 1 
> v ... v m = n} (n e IN).
> 
> Dann gilt (für alle x und n e IN): x e {1, ..., n} gdw. x = 1 v ... v x 
> = n.
> 
> Vielleicht verstehst sogar Du dummes Ar*loch, dass daraus sofort n e 
> {1, ..., n} (für alle n e IN) folgt.
> 
>> Und jetzt geh scheißen, Mückenheim [...]

Wir stellen fest: Sobald Du das Maul aufmachst, Mückenheim, kommt nur 
Scheiße raus. (RB: "saudummer Scheißdreck".)

>> EOD
>>
>> _____________________________________________________________________
>>
>> *) Hinweis, im Kontext der "reinen" Mengenlehre (z. B. ZF(C)), also 
>> dem aktuellen Kontext, ist alles eine Menge; also insbesondere auch IN.
>>
>> .
>> .
>> .
>>
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 05:48:42 +0100
TEMA  : Re: QuanTorenFrage
NUMBER: 28114
SIZE  : 3429
---------------------------------------------
Am 14.01.2025 um 00:28 schrieb Moebius:
> Am 13.01.2025 um 18:44 schrieb Moebius:
>> Am 13.01.2025 um 18:33 schrieb WM:
>>> On 13.01.2025 18:14, Moebius wrote:
>>>> Am 13.01.2025 um 18:00 schrieb WM:
>>>>> On 13.01.2025 14:11, Moebius wrote:
>>>>>
>>>>>> es gilt für jede natürliche Zahl n: n e {1, ..., n}.
>>>>>>
>>>>>> Oder kennst Du eine, für die das nicht gilt?
>>>>>
>>>>> Nein
>>>>
>>>> Fein. Glaubst Du, dass es so eine natürliche Zahl gibt?
>>>
>>> Wenn ℕ eine Menge ist, dann gibt es viele solche Zahlen 
>>
>> Nein, es gibt KEINE solche Zahl (und IN ist bekanntlich eine Menge*).
>>
>> SATZ: An e IN: n e {1, ..., n}.
>>
>> BEWEIS (nimm das doch endlich mal zur Kenntnis, Du dummes Ar*och):
>>
>> Aus {1, ..., n} := {m e IN : m <= n} (n e IN) und An e IN: n <= n 
>> FOLGT [mit Ay(y e {x e A : P(x)} <-> y e A & P(y))] sofort An e IN: n 
>> e {1, ..., n}. qed
> 
> Alternativ (wenn auch formal etwas vage): {1, ..., n} := {m : m = 1 
> v ... v m = n} (n e IN).
> 
> Dann gilt (für alle x und n e IN): x e {1, ..., n} gdw. x = 1 v ... v x 
> = n.
> 
> Vielleicht verstehst sogar Du dummes Ar*loch, dass daraus sofort n e 
> {1, ..., n} (für alle n e IN) folgt.

In die übliche Abfolge DEFINITION - SATZ - BEWEIS gebracht:

DEFINITION: {1, ..., n} := {m : m = 1 v ... v m = n}   (n e IN).

SATZ: An e IN: n e {1, ..., n}

BEWEIS: Sei n0 e IN, dann gilt für alle n: n e {1, ..., n0} <-> n = 1 v 
... v n = n0. Insbesondere gilt also n0 e {1, ..., n0} <-> n0 = 1 v ... 
v n0 = n0. Woraus, wegen n0 = n0, folgt: n0 e {1, ..., n0}. qed

>> Und jetzt geh scheißen, Mückenheim, oder lass Dich -alternativ- 
>> endlich einweisen.
>>
>> EOD
>>
>> _____________________________________________________________________
>>
>> *) Hinweis, im Kontext der "reinen" Mengenlehre (z. B. ZF(C)), also 
>> dem aktuellen Kontext, ist alles eine Menge; also insbesondere auch IN.
>>
>> .
>> .
>> .
>>
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 06:01:30 +0100
TEMA  : Re: QuanTorenFrage
NUMBER: 28115
SIZE  : 2696
---------------------------------------------
Am 14.01.2025 um 05:48 schrieb Moebius:
> Am 14.01.2025 um 00:28 schrieb Moebius:
>> Am 13.01.2025 um 18:44 schrieb Moebius:
>>> Am 13.01.2025 um 18:33 schrieb WM:
>>>> On 13.01.2025 18:14, Moebius wrote:
>>>>> Am 13.01.2025 um 18:00 schrieb WM:
>>>>>> On 13.01.2025 14:11, Moebius wrote:

Die Behauptung war:

>>>>>>> es gilt für jede natürliche Zahl n: n e {1, ..., n}.

Dazu:

> DEFINITION: {1, ..., n} := {m : m = 1 v ... v m = n}   (n e IN).
> 
> SATZ: An e IN: n e {1, ..., n}
> 
> BEWEIS: Sei n0 e IN, dann gilt für alle n: n e {1, ..., n0} <-> n = 1 
> v ... v n = n0. Insbesondere gilt also n0 e {1, ..., n0} <-> n0 = 1 
> v ... v n0 = n0. Woraus, wegen n0 = n0, folgt: n0 e {1, ..., n0}. qed

Jede natürliche Zahl wird also (mind.) von einem Anfangssegment 
"überdeckt" (WM). w.z.z.w

>>> Und jetzt geh scheißen, Mückenheim, oder lass Dich -alternativ- 
>>> endlich einweisen.
>>>
>>> EOD
>>>
>>> _____________________________________________________________________
>>>
>>> *) Hinweis, im Kontext der "reinen" Mengenlehre (z. B. ZF(C)), also 
>>> dem aktuellen Kontext, ist alles eine Menge; also insbesondere auch IN.
>>>
>>> .
>>> .
>>> .



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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Blacky Cat 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 09:09:49 +0100
TEMA  : Re: QuanTorenFrage
NUMBER: 28116
SIZE  : 3066
---------------------------------------------
Am 14.01.2025 um 00:05 schrieb WM:
> 
> Es gibt aber viele endliche Zahlen größer als jede definierbare Zahl.

- das ist richtig - "es gibt viele /endliche/ Zahlen..." !
   weil es in der Mathematik (und insbesonders in der Mengenlehre) heißt,
   dass es NICHT zu Mehrdeutigkeiten führen soll...

- diese "Zahlen" wie Du die Objekte bezeichnest, sind KEINE Zahlen, es
   handelt sich hierbei um Symbole !
   und jedes Symbol besitzt ist in seiner Natur andere Eigenschaften. Das
   kann die Art und Menge aber auch das aussehen betreffen.

A)
Das heißt also:
- jedes Objekt kommt nur "einmal" vor:
   1  ist ein Objekt
   11 ist ein zweites, anderes Objekt
   12 ...
   21 ...
   ...

- nur das man hier und anderorts 1, 2, 3 schreibt, heißt das noch lange
   nicht, das man mit diesen "Symbolen" wie in der algebraischen Mathe-
   matik rechnen kann - also 1 + 2 + 3 = 6.
   Das ist einfach FALSCH !

- in der Logik-Rechnung sind ALLE Werte, die Größer 0 sind als eins (1)
   aufzufassen - wegen 0 = falsch, und 1 = wahr.

- somit kommt es ohne relationale Operatoren zu Mehrdeutigkeiten - vgl.
   obiges (A) mit:
   01, 11, 12, 21, ...

   das wäre dann:
   01, 11, 11, 11, ...

   hier kommt es zu Mehrdeutigkeiten, die entschärft werden können:
   00 = 0
   01 = 1
   10 = 2
   11 = 3   +---------+
            V         |
   01 => 01   => 1.   +--> hier muss sichergestellt werden, das ALLE
   11 => 0101 => 1.        Beteiligten Objekte die gleich Bandbreite
   12 => 0110 => 2.        aufweisen und Leerstellen mit "0" gefüllt
   21 => 1001 => ..        werden müssen sonst: undefiniertes Verhalten !
   ...
   33 => 1111 => ...
   ...

Blacky

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www.avast.com

-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Blacky Cat 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 09:17:14 +0100
TEMA  : Re: Incompleteness of Cantor's enumeration of the rational numbers (extra-ordinary)
NUMBER: 28117
SIZE  : 2767
---------------------------------------------
Am 13.01.2025 um 23:54 schrieb WM:
> Denn falsch könnte es nur sein, wenn die Prämisse falsch wäre.

es kommt wohl darauf an, wie man das Ganze angeht und dabei muss man
beachten, was für einen Hintergrund der Schüler/Student hat:

- kann dieser Zahlen und Symbole auseinander halten ?
- wie sind die Grundlagen zur Logik und damit auch über Mengen ?
- wie sind dann die weiteren, vertiefenden Grundlagen über Logik
   (siehe Operatoren und Relationen...)
- wie versteht der Schüler/Student disjunkt und andere Wörter
- wie versteht der Schüler/Student die an die Tafel gezeichneten
   Symbole und Formeln...
...

Daher ist es wichtig, einen Kontext zu finden, der dann langsam
immer mehr aufgebaut/ausgebaut wird.
Denn nur wer die Grundlagen versteht, der kann dann weiter ins
Eingemachte gehen - das ist sehr wichtig !

Blacky

-- 
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www.avast.com

-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : joes 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 08:35:51 -0000 (UTC)
TEMA  : Re: Incompleteness of Cantor's enumeration of the rational numbers (extra-ordinary)
NUMBER: 28118
SIZE  : 4399
---------------------------------------------
Am Mon, 13 Jan 2025 23:51:51 +0100 schrieb WM:
> On 13.01.2025 22:16, joes wrote:
>> Am Mon, 13 Jan 2025 18:08:21 +0100 schrieb WM:
>>> On 13.01.2025 15:25, joes wrote:
>>>> Am Mon, 13 Jan 2025 13:48:19 +0100 schrieb WM:
>>>>> On 13.01.2025 05:51, Moebius wrote:
>>>>>>
>>>>>> Es gilt dann also |ℕ|/n = |ℕ|.
>>>>> Wrong. |ℕ| is a fixed number. |ℕ|*2 > |ℕ|. |ℕ|/2 < |ℕ|.
>>>> Nein, so funktioniert Ordinalzahlarithmetik nicht. omega*2 != 2*omega
>>>> = omega (Division ist nicht definiert)
>>> Aber Multiplikation. ∀m,n ∈ ℕ: |{1, 2, 3, ..., m}| < |ℕ|/n = ω/n ist
>>> definiert durch |{1, 2, 3, ..., m}|*n < ω.
>> Das ist eine Ungleichung, aus der omega/n >= omega folgt (für alle n e
>> N).
> Falsch.
Doch. A m,n e N: omega/n > m. Jeder "Bruchteil" von omega soll größer als
jede natürliche Zahl sein. Größer als jedes m ist aber nur omega.

>>>>>> Was Du vermutlich meinst/ausdrücken willst, ist, dass für alle k e
>>>>>> IN:  An e IN: |F(k)|*n < |IN|
>>>>>> gilt. D. h. dass jeder Anfangsabschnitt im Vergleich zu IN geradezu
>>>>>> "verschwindend klein" ist.
>>>>> Infinitesimal. Deswegen kann die Vereinigung nicht |ℕ| sein.
>>>> Doch, es sind schließlich unendlich viele Abschnitte.
> Alle unendlich vielen Anfangsabschnitte sind unendlich weit von ω
> entfernt.
>
>>>> N ist der Grenzwert der Folge der Anfangsabschnitte.
>>> Nein. Ein Grenzwert existiert nur, wenn nichts zwischen allen
>>> Folgengliedern und dem Grenzwert existiert. Hier aber existieren fast
>>> alle Zahlen dazischen.
>> Nein, da hast du die Quantoren verwechselt.
> Ganz bewusst und beweisbar richtig vertauscht.
Widerlegt.

>> Tatsächlich gibt es keine Menge, die gleichzeitig Obermenge aller
>> Anfangsabschnitte und echte Teilmenge von N ist (sie müsste hier
>> endlich sein).
> Sie ist (potentiell un-) endlich.
Die nicht existente Menge?

>> N ist die kleinste Obermenge, die Vereinigung aller Anfangsabschnitte.
> Dann müssten endliche Anfangsabschnitte ohne unendliche Endsegmente
> existieren, um zu verhindern, dass auf alle endlichen Anfangsabschnitte
> ein unendliches Endsegment folgt. Das ist nicht der Fall.
Müssten sie nicht. Gäbe es Anfangsabschnitte mit endlichen Enden, so
wäre N endlich.
Es gibt auch keine unendlichen Anfangsabschnitte.

-- 
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 11:12:13 +0100
TEMA  : Re: QuanTorenFrage
NUMBER: 28119
SIZE  : 2752
---------------------------------------------
On 14.01.2025 00:39, Moebius wrote:
> Am 14.01.2025 um 00:28 schrieb Moebius:

>>>> Wenn ℕ eine Menge ist, dann gibt es viele solche Zahlen 
>>>
>>> Nein, es gibt KEINE solche Zahl
Es gibt endliche Anfangsabschnitte. Da zwischen jedem und ω unendlich 
viele natürliche Zahlen liegen, liegen unendlich viele natürliche Zahlen 
zwischen der Vereinigung aller endlichen Anfangsabschnitte und ω.

Dagegen hilft auch das rüpelhafteste Benehmen Deinerseits nichts.
Wäre die Folgerung nämlich falsch, dann müsste es definierbare Zahlen 
geben, die das verhindern, also näher an ω liegen. Dann wäre aber die 
Prämisse falsch.

Das kann durch keinen Beweis falsifiziert werden, denn es ist einfachste 
Logik. Deine Beweise zeigen also lediglich einen Widerspruch, der aus 
der Annahme der Existenz von ω resultiert.

>>> Aus {1, ..., n} := {m e IN : m <= n} (n e IN) und An e IN: n <= n 
>>> FOLGT [mit Ay(y e {x e A : P(x)} <-> y e A & P(y))] sofort An e IN: n 
>>> e {1, ..., n}. qed

Damit wird entweder die Existenz von ω widerlegt oder ausgeschlossen, 
dass alle Zahlen definierbar sind, also Anfangsbbschnitte besitzen.

Kannst Du nicht begreifen, dass interne Widersprüche nicht durch 
einseitige Beweise ausgeschaltet werden?

Gruß, WM

-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM 
DATE  : Tue, 14 Jan 2025 11:36:12 +0100
TEMA  : Re: Incompleteness of Cantor's enumeration of the rational numbers (extra-ordinary)
NUMBER: 28120
SIZE  : 5435
---------------------------------------------
On 14.01.2025 09:35, joes wrote:
> Am Mon, 13 Jan 2025 23:51:51 +0100 schrieb WM:

>>>> Aber Multiplikation. ∀m,n ∈ ℕ: |{1, 2, 3, ..., m}| < |ℕ|/n = ω/n ist
>>>> definiert durch |{1, 2, 3, ..., m}|*n < ω.
>>> Das ist eine Ungleichung, aus der omega/n >= omega folgt (für alle n e
>>> N).
>> Falsch.
> Doch. A m,n e N: omega/n > m. Jeder "Bruchteil" von omega soll größer als
> jede natürliche Zahl sein.

Jeder *definierbare* Bruchteil von ω ist größer als jede definierbare 
natürliche Zahl. Oben habe ich das leider für n zu notieren vergessen.

>> Alle unendlich vielen Anfangsabschnitte sind unendlich weit von ω
>> entfernt.
>>
>>>>> N ist der Grenzwert der Folge der Anfangsabschnitte.
>>>> Nein. Ein Grenzwert existiert nur, wenn nichts zwischen allen
>>>> Folgengliedern und dem Grenzwert existiert. Hier aber existieren fast
>>>> alle Zahlen dazischen.
>>> Nein, da hast du die Quantoren verwechselt.
>> Ganz bewusst und beweisbar richtig vertauscht.
> Widerlegt.

Du kannst einen interen Widerspruch nicht durch Wiederholung einer Seite 
widerlegen.

Es gibt endliche Anfangsabschnitte.
Prämisse: Zwischen jedem und ω liegen unendlich viele natürliche Zahlen.
Folgerung: Zwischen der Vereinigung aller endlichen Anfangsabschnitte 
und ω liegen unendlich viele natürliche Zahlen.

Wäre die Folgerung falsch, dann müsste es definierbare Zahlen geben, die 
das verhindern, also näher an ω liegen. Dann wäre aber die Prämisse falsch.

Das müsstest Du wiederlegen, kannst Du aber nicht.
> 
>>> Tatsächlich gibt es keine Menge, die gleichzeitig Obermenge aller
>>> Anfangsabschnitte und echte Teilmenge von N ist (sie müsste hier
>>> endlich sein).
>> Sie ist (potentiell un-) endlich.
> Die nicht existente Menge?

Eine Menge in ZF ist invariabel. Alle natürlichen Zahlen existieren in 
ℕ. Also sind alle verfügbaren Plätze zwischen 0 und ω besetzt. Werden 
alle diese Zahlen verdoppelt, dann bleibt ihre Anzahl konstant 
(Realität, nicht nur Kardinalzahl). Alle ungeraden Zahlen verschwinden, 
also werden alle geraden Zahlen verdoppelt. Zwischen 0 und ω passen aber 
keine weiteren geraden Zahlen.

Eine potentiell unendlich Kollektion hingegen ist niemals saturiert. 
Immer wieder können Zahlen erzeugt werden, die dann zur Kollektion gehören.
> 
>>> N ist die kleinste Obermenge, die Vereinigung aller Anfangsabschnitte.
>> Dann müssten endliche Anfangsabschnitte ohne unendliche Endsegmente
>> existieren, um zu verhindern, dass auf alle endlichen Anfangsabschnitte
>> ein unendliches Endsegment folgt. Das ist nicht der Fall.
> Müssten sie nicht.

Versuche einmal, logisch zu denken.

> Gäbe es Anfangsabschnitte mit endlichen Enden, so
> wäre N endlich.

Es gibt nur solche. Wäre ihre Folge oder Vereinigung (was dasselbe 
bedeutet) ℕ, dann wäre ℕ potentiell unendlich.

> Es gibt auch keine unendlichen Anfangsabschnitte.

Jedenfalls keine definierbaren. Alle sind endlich. Ihre Folge enthält 
nur endliche Anfangsabschnitte. Die Folge der Anfangsabschnitte enthält 
übrigens genau dasselbe wie die Folge ihrer Vereinigungen, weil jeder 
Anfangsabschnitt {1, 2, 3, ..., n} die Vereinigug seiner Vorgänger 
enthält. Bis ℕ fehlen in jedem Falle unendlich viele dunkle Zahlen.

Gruß, WM