A Example:

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

parsed lines: 0
 
 
 
connected.
num: 29147


-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Fri, 25 Apr 2025 19:49:22 +0200
TEMA  : =?UTF-8?B?UmU6IE3DvGNrZW5zY2hsw7xzc2UgKCJhbGxlIik=?=
NUMBER: 29137
SIZE  : 3474
---------------------------------------------
Am 25.04.2025 um 19:40 schrieb Moebius:

Nachtrag zum Beweis von

               {} = IN .

> Hinweis@Mückenheim:
> 
> Es genügt dazu schon der (also Ihr) Beweis von
> 
>                U(ANF) = IN => {} = IN   ,
> 
> denn U(ANF) = IN ist im Kontext der Mengenlehre (z. B. ZF(C)) beweisbar.
> 
> Hinweis@Mückenheim: Statt "U(ANF)" kann man (wegen ANF := {A(n) : n e 
> IN}) auch schreiben "U{A(n) : n e IN}" oder "U_(n e IN)A(n)". Was man 
> hierfür aber nicht schreiben sollte, ist so etwas wie "UA(n)". Aber das 
> mit gebundenen vs. freien Variablen haben Sie ja noch nie kapiert. Und 
> Tarski zu lesen ist natürlich unter Ihrer Würde. :-)
> 
> Wie dem auch sei: Hier NOCH EINMAL die Erklärung dafür, wie es Ihnen 
> gelungen ist "U(ANF) = IN => {} = IN" zu beweisen:
> 
> Es gilt (wie man leicht zeigen kann): An e IN: U(ANF \ {A(n)}) = U(ANF)
> 
> mit ANF := {A(n) : n e IN} und A(n) := {1, ..., n} (n e IN).
> 
> Daraus schließen Sie messerscharf auf:
> 
> U(ANF \ {A(n) : n e IN}) = U(ANF); also U(ANF \ ANF) = U(ANF) bzw. {} = 
> U(ANF)
> 
> WENN wir also nun "U(ANF) = IN" annehmen, können wir auf "{} = IN" 
> schließen (Transitivität der Gleichheit/Identität).
> 
> Mit anderen Worten, wir haben nun (mithilfe Ihres Kunstgriffs)
> 
>              U(ANF) = IN => {} = IN
> 
> gezeigt.
> 
> ___________________________________________________________________
> 
> Daraus folgt dann - wie schon erwähnt - wegen der Beweisbarkeit von 
> "U(ANF) = IN" die Aussage "{} = IN".

Ein alternativer/einfacherer Beweis arbeitet mit (a):

| Es gilt: An e IN: IN \ {n} =/= {}
|
| Daraus schließt WM messerscharf auf:
|
| IN \ {n : n  e IN} =/= {}; also IN \ IN =/= {} bzw. {} =/= {}.

Daraus folgt sofort (wegen {} = {}, Reflexivität der 
Gleichheit/Identität) ein Widerspruch. Daraus kann man dann ALLES 
herleiten. U.a. auch

                        {} = IN
qed.

> Und jetzt holen Sie Sich endlich Ihren Abel-Preis, Herr Prof. Dr. 
> Mückenheim!
> 
> Hinweis:
> 
>>>> Der Umstand, dass Herr Mückenheim in diesem Zusammenhang Begriffe 
>>>> wie "(nicht) nötig", "nutzlos" verwendet, verschleiert die oben 
>>>> erklärte messerscharfe Schlussweise etwas.
>>>>
>>>> .
>>>> .
>>>> .
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Stefan Ram 
DATE  : 25 Apr 2025 18:05:52 GMT
TEMA  : Hilbertraeume fuer jedermann
NUMBER: 29138
SIZE  : 4402
---------------------------------------------
|Mann: "Was ist ein Hilbertraum?"
|
|Mathematiker: "Ein Hilbertraum ist ein vollständiger
|Prä-Hilbertraum."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- vollständig
|- Prä-Hilbertraum
|
|Mann: "Was bedeutet ‚vollständig‘ hier?"
|
|Mathematiker: "Ein Raum ist vollständig, wenn jede
|Cauchy-Folge gegen einen Punkt im Raum konvergiert."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Cauchy-Folge
|- Prä-Hilbertraum
|
|Mann: "Was ist eine Cauchy-Folge?"
|
|Mathematiker: "Eine Folge, bei der die Elemente mit
|fortschreitender Folge beliebig nah zueinander werden."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Folge (als bekannt vorausgesetzt)
|- Prä-Hilbertraum
|
|Mann: "Was ist ein Prä-Hilbertraum?"
|
|Mathematiker: "Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Vektorraum
|- Skalarprodukt
|
|Mann: "Was ist ein Vektorraum?"
|
|Mathematiker: "Eine Menge, die unter Addition und
|Skalarmultiplikation abgeschlossen ist."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Menge (als bekannt vorausgesetzt)
|- Skalarmultiplikation
|- Skalarprodukt
|
|Mann: "Was ist Skalarmultiplikation?"
|
|Mathematiker: "Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
|(Skalar)."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Skalarprodukt
|
|Mann: "Was ist ein Skalarprodukt?"
|
|Mathematiker: "Eine Funktion, die zwei Vektoren einen Skalar
|zuordnet – eine Verallgemeinerung des Punktprodukts."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Punktprodukt
|
|Mann: "Was ist ein Punktprodukt?"
|
|Mathematiker: "Die Summe der Produkte entsprechender
|Komponenten zweier Vektoren."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Vektor
|- Komponente
|
|Mann: "Was ist ein Vektor?"
|
|Mathematiker: "Ein Element eines Vektorraums."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Komponente
|
|Mann: "Was ist eine Komponente?"
|
|Mathematiker: "Eine Koordinate eines Vektors bezüglich einer
|Basis."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Basis
|
|Mann: "Was ist eine Basis?"
|
|Mathematiker: "Eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die
|den Raum aufspannen."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- linear unabhängig
| - aufspannen
|
|Mann: "Was bedeutet 'linear unabhängig'?"
|
|Mathematiker: "Kein Vektor der Menge lässt sich als
|Linearkombination der anderen schreiben."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- Linearkombination
|- aufspannen
|
|Mann: "Was ist eine Linearkombination?"
|
|Mathematiker: "Eine Summe skalierter Vielfache von Vektoren."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes:
|- aufspannen
|
|Mann: "Was bedeutet 'aufspannen'?"
|
|Mathematiker: "Alle möglichen Linearkombinationen einer
|Vektormenge."
|
|Unbekannte Begriffe des Mannes: Keine mehr.
|
|Mann: "Danke. Jetzt hab ich's kapiert."
|
|Mathematiker: "Gut. Jetzt beweis den Spektralsatz."
|
|Mann: [Geht schweigend weg.]
|
|Ergebnis: Der Mann hat entweder Grundlagen der linearen
|Algebra gelernt oder die Mathematik für immer aufgegeben.

  (Nach meinen Vorgaben von einem KI-Chatbot geschrieben,
  der von sich aus ein witziges Ende hinzugeügt hat.)



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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Stefan Ram 
DATE  : 25 Apr 2025 18:11:53 GMT
TEMA  : Re: Hilbertraeume fuer jedermann
NUMBER: 29139
SIZE  : 3829
---------------------------------------------
ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte:
>|Mann: "Was ist ein Hilbertraum?"

  Aber Lehrbücher fangen normalerweise am anderen Ende an!

|Mann: Was ist ein Hilbertraum?
|
|Mathematiker: "Eine Menge von Vektoren spannt einen Raum auf,
|wenn alle Vektoren im Raum Linearkombinationen davon sind."
|
|Mann: Seufzt. "Aber wozu brauche ich das??"
|
|Mathematiker: "Eine Linearkombination ist eine Summe
|skalierter Vektoren."
|
|Mann: Reibt sich die Schläfen. "Aber wozu zum Teufel brauche
|ich das??"
|
|Mathematiker: "Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner
|als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann."
|
|Mann: Stöhnt. "Aber warum muss ich das wissen??"
|
|Mathematiker: "Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger
|Vektoren, die den Raum aufspannen."
|
|Mann: Gesicht in den Händen. "Aber was ist der Sinn??"
|
|Mathematiker: "Eine Komponente ist eine Koordinate eines
|Vektors bezüglich einer Basis."
|
|Mann: Murmelt. "Aber warum ist das wichtig??"
|
|Mathematiker: "Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums."
|
|Mann: Atmet scharf aus. "Aber wozu ist das gut??"
|
|Mathematiker: "Das Punktprodukt summiert Produkte
|entsprechender Vektorkomponenten."
|
|Mann: Grübelt. "Aber was interessiert mich das??"
|
|Mathematiker: "Ein Skalarprodukt verallgemeinert das
|Punktprodukt, indem es Skalare Vektorpaaren zuordnet."
|
|Mann: Läßt sich fallen. "Aber warum??"
|
|Mathematiker: "Skalarmultiplikation ist die Multiplikation
|eines Vektors mit einer Zahl."
|
|Mann: Augen zucken. "Aber warum??"
|
|Mathematiker: "Ein Vektorraum ist eine Menge, die unter
|Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist."
|
|Mann: Angespannte Stimme. "Aber was ist das Ziel??"
|
|Mathematiker: "Ein Prä-Hilbertraum ist ein Vektorraum mit
|einem Skalarprodukt."
|
|Mann: Fast schreiend. "Aber WARUM??"
|
|Mathematiker: "Eine Cauchy-Folge hat Elemente, die beliebig
|nah zusammenrücken."
|
|Mann: Schlägt auf den Tisch. "Aber WARUM??"
|
|Mathematiker: "Ein Raum ist vollständig, wenn alle
|Cauchy-Folgen darin konvergieren."
|
|Mann: Kopf in den Händen. "Aber BITTE—wozu brauche ich das??"
|
|Mathematiker: "Ein Hilbertraum ist ein vollständiger
|Prä-Hilbertraum."
|
|Mann: Hält inne. Augen weit offen. "Ah! Also dafür mußte ich
|all das wissen! Jetzt, wo ich sehe, daß ich all diese Begriffe
|wirklich kennen muß, bitte von vorne wiederholen."



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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Fri, 25 Apr 2025 20:20:31 +0200
TEMA  : Re: Hilbertraeume fuer jedermann
NUMBER: 29140
SIZE  : 1430
---------------------------------------------
Am 25.04.2025 um 20:11 schrieb Stefan Ram: [...]

Wie Hilbert schon sagte: "Eine mathematische Theorie ist nicht eher als 
vollkommen anzusehen, als bis du sie so klar gemacht hast, daß du sie 
dem ersten Manne erklären könntest, den du auf der Straße triffst."


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM 
DATE  : Fri, 25 Apr 2025 21:55:54 +0200
TEMA  : Re: notwendige Anfangsabschnitte // TH24 Verwendung von Variablen
NUMBER: 29141
SIZE  : 2761
---------------------------------------------
On 25.04.2025 16:03, joes wrote:
> Am Thu, 24 Apr 2025 19:58:24 +0200 schrieb WM:
>> On 23.04.2025 23:45, Rainer Rosenthal wrote:
>>> Am 23.04.2025 um 21:30 schrieb WM:
> 
>>>> ... dass jede abbrechende Folge natürlicher Zahlen für die Darstellung
>>>> der Menge ℕ nutzlos ist.
>>>
>>> Trivial: mit endlich vielen Anfangsabschnitten kannst Du natürlich
>>> nicht IN als Vereinigung erhalten.
>>
>> Mit abbrechender Folge ist jeder endliche Anfangsabschnitt
>> klassifiziert. Jeder ist endlich. Alle sind endlich obwohl kein größter
>> existiert.
> Das ist ja auch kein Widerspruch.

Die Menge ist jedenfalls nicht größer als jede endliche Zahl.
> 
>> Diese Folge nennt man potentiell unendlich. Für ℕ nehmen wir
>> aber an, dass es
> Es was?

Für ℕ nehmen wir an, dass die Menge ℕ
> 
>> aktual unendlich ist, also nicht stets weiter strebt,
>> sondern komplett ist. Das gelingt endlichen Anfangsabschnitten nicht.

> Wir sprechen aber von *Mengen von* AA, speziell unendlichen Mengen.
> Deren Vereinigung kann nicht endlich, also kein AA sein.

Elemente von Mengen müssen sich voneinander unterscheiden. Endliche 
Anfangsabschnitte {1, 2, 3, ..., n} sind ebenso wie endliche Ketten von 
Kreisen ooo...o auf endlich viele Unterscheidungsmerkmale beschränkt. 
Die Mengen können zwar ohne Ende wachsen, aber sie können nicht aktual 
unendlich viele verschiedene Elemente besitzen.

Gruß, WM


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM 
DATE  : Fri, 25 Apr 2025 22:06:47 +0200
TEMA  : Anfangsabschnitte
NUMBER: 29142
SIZE  : 1910
---------------------------------------------
On 25.04.2025 19:40, Moebius wrote:

> Es genügt dazu schon der (also Ihr) Beweis von
> 
>                U(ANF) = IN => {} = IN   ,
> 
> denn U(ANF) = IN ist im Kontext der Mengenlehre (z. B. ZF(C)) beweisbar.

Das liegt daran, dass die Mengelehrer unwissentlich oder geflissentlich 
aktual und potentiell unendlich verwechseln.
> 
> Hinweis@Mückenheim: Statt "U(ANF)" kann man (wegen ANF := {A(n) : n e 
> IN}) auch schreiben "U{A(n) : n e IN}" oder "U_(n e IN)A(n)".

Da nicht alle natürlichen Zahlen definierbar sind und Anfangsabschnitte 
besitzen, wäre das irreführend. Allenfalls U{A(n), n ∈ ℕ_def} könnte 
manschreiben, doch ist ℕ_def keine Menge, sondern eine potentiell 
unendliche Kollektion. Deshalb sollte man es nicht schreiben.

Gruß, WM

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : joes 
DATE  : Fri, 25 Apr 2025 20:10:47 -0000 (UTC)
TEMA  : Re: notwendige Anfangsabschnitte // TH24 Verwendung von Variablen
NUMBER: 29143
SIZE  : 3040
---------------------------------------------
Am Fri, 25 Apr 2025 21:55:54 +0200 schrieb WM:
> On 25.04.2025 16:03, joes wrote:
>> Am Thu, 24 Apr 2025 19:58:24 +0200 schrieb WM:
>>> On 23.04.2025 23:45, Rainer Rosenthal wrote:
>>>> Am 23.04.2025 um 21:30 schrieb WM:
>> 
>>>>> ... dass jede abbrechende Folge natürlicher Zahlen für die
>>>>> Darstellung der Menge ℕ nutzlos ist.
>>>> Trivial: mit endlich vielen Anfangsabschnitten kannst Du natürlich
>>>> nicht IN als Vereinigung erhalten.
>>> Mit abbrechender Folge ist jeder endliche Anfangsabschnitt
>>> klassifiziert. Jeder ist endlich. Alle sind endlich obwohl kein
>>> größter existiert.
>> Das ist ja auch kein Widerspruch.
> Die Menge ist jedenfalls nicht größer als jede endliche Zahl.
Doch, jede unendliche Menge von AA ist das, insbesondere die aller AA.
Dachtest du, es gäbe einen unendlichen AA?

>>> Diese Folge nennt man potentiell unendlich. Für ℕ nehmen wir aber an,
>>> dass es
>> Es was?
> Für ℕ nehmen wir an, dass die Menge ℕ
>> 
>>> aktual unendlich ist, also nicht stets weiter strebt,
>>> sondern komplett ist. Das gelingt endlichen Anfangsabschnitten nicht.
Ja klar ist N kein AA. Was meinst du damit?

>> Wir sprechen aber von *Mengen von* AA, speziell unendlichen Mengen.
>> Deren Vereinigung kann nicht endlich, also kein AA sein.
> Elemente von Mengen müssen sich voneinander unterscheiden. Endliche
> Anfangsabschnitte {1, 2, 3, ..., n} sind ebenso wie endliche Ketten von
> Kreisen ooo...o auf endlich viele Unterscheidungsmerkmale beschränkt.
> Die Mengen können zwar ohne Ende wachsen, aber sie können nicht aktual
> unendlich viele verschiedene Elemente besitzen.
Ach so, du glaubst einfach nicht an unendliche Mengen.

-- 
Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math:
It is not guaranteed that n+1 exists for every n.

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM 
DATE  : Fri, 25 Apr 2025 22:41:51 +0200
TEMA  : Re: notwendige Anfangsabschnitte // TH24 Verwendung von Variablen
NUMBER: 29144
SIZE  : 3241
---------------------------------------------
On 25.04.2025 22:10, joes wrote:
> Am Fri, 25 Apr 2025 21:55:54 +0200 schrieb WM:
>> On 25.04.2025 16:03, joes wrote:
>>> Am Thu, 24 Apr 2025 19:58:24 +0200 schrieb WM:
>>>> On 23.04.2025 23:45, Rainer Rosenthal wrote:
>>>>> Am 23.04.2025 um 21:30 schrieb WM:
>>>
>>>>>> ... dass jede abbrechende Folge natürlicher Zahlen für die
>>>>>> Darstellung der Menge ℕ nutzlos ist.
>>>>> Trivial: mit endlich vielen Anfangsabschnitten kannst Du natürlich
>>>>> nicht IN als Vereinigung erhalten.
>>>> Mit abbrechender Folge ist jeder endliche Anfangsabschnitt
>>>> klassifiziert. Jeder ist endlich. Alle sind endlich obwohl kein
>>>> größter existiert.
>>> Das ist ja auch kein Widerspruch.
>> Die Menge ist jedenfalls nicht größer als jede endliche Zahl.
> Doch, jede unendliche Menge von AA ist das, insbesondere die aller AA.
> Dachtest du, es gäbe einen unendlichen AA?

Nein. Alle sind endlich, und damit ist die Menge endlich, denn mehr 
Elemente sind durch endliche Ketten von Symbolen nicht unterscheidbar.
> 
>>>> Diese Folge nennt man potentiell unendlich. Für ℕ nehmen wir aber an,
>>>> dass es
>>> Es was?
>> Für ℕ nehmen wir an, dass die Menge ℕ
>>>
>>>> aktual unendlich ist, also nicht stets weiter strebt,
>>>> sondern komplett ist. Das gelingt endlichen Anfangsabschnitten nicht.
> Ja klar ist N kein AA.

Alle AA sind endlich. Damit sind nur endlich viele unterscheidbar.

>> Die Mengen können zwar ohne Ende wachsen, aber sie können nicht aktual
>> unendlich viele verschiedene Elemente besitzen.
> Ach so, du glaubst einfach nicht an unendliche Mengen.

Endlich viele Symbole lassen nur endlich viele Elemente unterscheiden.

o
oo
ooo
...

Bis zu jeder endlichen Kette ist die Menge der kleineren Ketten endlich. 
Das hat nichts mit Glauben zu tun.

Gruß, WM


-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Blacky Cat 
DATE  : Fri, 25 Apr 2025 22:47:30 +0200
TEMA  : Re: notwendige Anfangsabschnitte // TH24 Verwendung von Variablen
NUMBER: 29145
SIZE  : 1985
---------------------------------------------
Am 25.04.2025 um 22:10 schrieb joes:
> Ach so, du glaubst einfach nicht an unendliche Mengen.

glauben ist hier vieleicht der falsche Ausdruck...
weil, glauben kann man in der Kirche.

In der Mathematik muss bzw. kann man sich manches "denken"
weil ja ALLES in der Mathematik ein Gedanken-Model ist, bei
dem wir ja noch nicht mal Wissen, ob dieses richtig ist...
Oder hat da einer, der 1989 geboren wurde schon ALLE Hylo-
gryphen die in den Pyramiden von Ägypten entschlüsselt ?

Kann man glauben, das dies einer geschafft hat - aber ob das
dann auch "Wissen" bedeutet, ist ja eine andere Sache...

Oder weiß jemand, wer auf die Idee gekommen ist, das rönische
Symbol-System zu erfinden ?

Blacky

-- 
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Sat, 26 Apr 2025 00:10:30 +0200
TEMA  : =?UTF-8?B?UmU6IE3DvGNrZW5zY2hsw7xzc2UgKCJhbGxlIik=?=
NUMBER: 29146
SIZE  : 1503
---------------------------------------------
Am 25.04.2025 um 19:40 schrieb Moebius:

> U(ANF) = IN ist im Kontext der Mengenlehre (z. B. ZF(C)) beweisbar.

Denn zum einen gilt per definitionem: AX e ANF: X c IN zum anderen ist 
per definitionem für jedes n e IN: {1, ..., n} e ANF.

Hint: ANF := {{1, ..., n} : n e IN} und {1, ..., n} := {m e IN : m <= n} 
(n e IN).