Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29462<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius <invalid@example.invalid>
DATE  : Mon, 26 Jan 2026 04:30:02 +0100
TEMA  : Re: Definition der reellen Zahlen
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Am 25.01.2026 um 23:33 schrieb Moebius:
> Am 25.01.2026 um 23:06 schrieb Moebius:
> 
>> Wenn wir aber einmal davon ausgehen, dass es hier lediglich um das 
>> Festlegen der Bedeutung eines Symbols geht, hier also "ℝ", man aber 
>> den Begriff des "Zahlenstrahls" voraussetzen kann (und das kann man 
>> bei der intendierten Leserschaft Deines Buchs), dann könnte man 
>> natürlich hinschreiben:
>>
>>          ℝ = {x | x ist ein Punkt des Zahlenstrahls & Aq e Q: x < q v 
>> x = q v x > q} .
>>
>> Aber dann auch ganz einfach nur:
>>
>>          ℝ = {x | x ist ein Punkt des Zahlenstrahls} .
>>
>> Auf diese Weise würde man beim Leser ein "Verständnis" dafür wecken, 
>> worauf (also auf welche Menge) sich das Symbol "ℝ" bezieht.*)
>>
>> Ich gehe einmal davon aus, dass es Dir darum ging. Nuuuuur ... ist 
>> leider die Bedingung "Aq e Q: x < q v x = q v x > q" KEIN sinnvoller 
>> Ersatz für "x ist ein Punkt des Zahlenstrahls".
> 
> Man kann das übrigens auch zeigen, ohne sich auf "unendliche Zahlen" 
> (die Du nicht betrachten möchtest) zu beziehen, Mückenheim.
> 
> Nachdem Du im Vorwort Deines Buchs, den Schöpfer der Nonstandard- 
> Analysis nicht nur /erwähnst/, sondern sogar /zitierst/ und zudem seinen 
> Ratschlag in Bezug auf /unendliche Mengen/ aufgreifst und für Dein Buch 
> als verbindlich erklärst, wirst Du wohl auch mit dem Begriff der sog. 
> "Hyperreellen Zahlen" vertraut sein. (Wenn Du AUCH DIE nicht betrachten 
> bzw. "gelten lassen" willst, hättest Du besser den Schöpfer der 
> Nonstandard-Analysis nicht im Vorwort Deines Buches erwähnt und 
> zitiert. :-)
> 
> "In der Mathematik sind hyperreelle Zahlen ein zentraler 
> Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Die Menge der 
> hyperreellen Zahlen wird meist als *ℝ geschrieben; sie erweitert die 
> reellen Zahlen um infinitesimal benachbarte Zahlen sowie um unendlich 
> große (infinite) Zahlen."
> 
> Da Du aber "infinite Zahlen" nicht magst, will ich Dir dahingehend 
> entgegenkommen und mich auf eine Teilmenge von *ℝ beziehen, die KEINE 
> solchen Zahlen enthält: {x e *ℝ | 0 <= x <= 1}. Diese Menge enthält aber 
> gleichwohl Zahlen, die es in ℝ nicht gibt (zu reellen Zahlen 
> "infinitesimal benachbarte Zahlen").
> 
> Nun definieren wie die Menge ℝ´ := ℝ u {x e *ℝ | 0 <= x <= 1}. Diese 
> Menge enthält keine "unendlichen Zahlen", aber dennoch Zahlen, die es in 
> ℝ nicht gibt.
> 
> Und nun AUFGEPASST: Für alle x in ℝ´ gilt: Aq e Q: x < q v x = q v x > q.
> 
> Daher ist Deine Behauptung, dass die Bedingung "Aq e Q: x < q v x = q v 
> x > q" nur für x in ℝ gelten würde, falsch. Das ist auch so, wenn wir 
> "unendliche x" (stillschweigend) ausklammern.
> 
> Ne, Mückenheim, das mit
> 
>         ℝ = {x | Aq e Q: x < q v x = q v x > q}
> 
> war wirklich "keine glückliche Idee". :-)

Um es noch einmal zusammenzufassen (auch wenn Du zu blöde und zu doof 
bist, um es zu verstehen):

Es gibt mindesten 2 (relevante) Erweiterungen der reellen Zahlen, für 
deren Elemente

               Aq e Q: x < q v x = q v x > q

gilt. DAHER ist es _falsch_, dass nur reelle Zahlen "diese Bedingung" 
erfüllen.

Nur der GRÖMAZ kann auf die dumme Idee kommen "ℝ" so definieren zu 
wollen. Aber "ausreden" kann man ihm es natürlich nicht. :-)

> Letztlich landen wir wieder bei ℝ = {x e ℝ | Aq e Q: x < q v x = q v x > 
> q} bzw. ℝ = {x | x e ℝ}, aber viell. besser: ℝ = {x | x ist ein Punkt 
> der reelle Zahlengeraden}.
> 
> Vermutlich war das wohl Dein Grundgedanke:
> 
>         ℝ = {x | x ist ein Punkt der reellen Zahlengeraden}.
> 
> Die "Vergleichbarkeit" von x mit allen Elementen in Q taugt - wie wir 
> gesehen haben - leider nicht als Kriterium.
> 
>> ____________________________________________________________________
>>
>> *) Das ist ja auch nicht anders, wenn man z. B. "IN = {1, 2, 3, ...}" 
>> hinschreibt (wie es in UNZÄHLIGEN Büchern gemacht wird). Eine echte 
>> "Definition" der Menge IN ist das ja auch nicht.
>>
>>
> 
> 


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