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num: 29382
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Mon, 2 Feb 2026 23:03:39 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
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Am 02.02.2026 um 20:52 schrieb Moebius:
> Am 02.02.2026 um 20:47 schrieb Moebius:
>> Am 02.02.2026 um 19:13 schrieb Moebius:
>>> Am 02.02.2026 um 19:05 schrieb Moebius:
>>>> Am 30.01.2026 um 17:41 schrieb Ralf Goertz:
>>>>> Am Thu, 29 Jan 2026 22:59:47 +0100
>>>>> schrieb wm :
>>>>>>
>>>>>> Aber wie ist das mit der Abzählung der algebraischen Zahlen?
>>>>>>
>>>>> Das ist doch ganz einfach. Eine algebraische Zahl ist Nullstelle eines
>>>>> nichtkonstanten normierten irreduziblen Polynoms p(x) mit rationalen
>>>>> Koeffizienten. Da sich die Nullstellen nicht ändern, wenn man
>>>>> stattdessen a*p(x) betrachtet (mit a ∈ ℤ\{0}) kann man p(x)
>>>>> o.B.d.A. als
>>>>> Polynom mit ganzen Koeffizienten betrachten (in dem man a auf das kgV
>>>>> der Nenner der Koeffizienten setzt), danach teilt man die
>>>>> Koeffizienten
>>>>> durch ihren ggT und multipliziert gegebenenfalls mit -1, um den
>>>>> Leitkoeffizienten positiv zu machen. Damit hat man für jede
>>>>> algebraische
>>>>> Zahl ein eindeutiges ganzzahliges Polynom. Diese lassen sich nach
>>>>> folgendem Schema abzählen. Betrachte das Maximum m aus Grad des
>>>>> Polynoms
>>>>> und Summe der Absolutwerte der Koeffizienten. Für jedes m gibt es nur
>>>>> endlich viele Polynome:
>>>>>
>>>>> m=1: x
>>>>> m=2: x-1, x+1, (x²-1), (x²), x²+1
>>>>> m=3: x-2, x+2, 2x-1, 2x+1, x²-x-1, x²-x+1, x²-2, x²+2, x²+x-1,
>>>>> x²+x+1,…, 2x³+1
>>>>> m=4: x-3, x+3, …
>>>>> …
>>>>>
>>>>> (Für m=2 habe ich die reduziblen Polynome eingeklammert, sie fallen
>>>>> raus.) Innerhalb eines m sortiert man zunächst nach Grad, dann nach
>>>>> der
>>>>> Größe der Koeffizienten, beginnend mit dem Leitkoeffizienten. Ein
>>>>> irreduzibles Polynom des Grads n über ℤ hat n verschiedene Nullstellen
>>>>> in ℂ. Die sortiert man zuerst nach Realteil, dann nach Imaginärteil.
>>>>> Damit beginnt die Abzählung der algebraischen Zahlen also so:
>>>>>
>>>>> 0,
>>>>> 1, -1, -i, i,
>>>>> 2, -2, 1/2, -1/2, (1-√5)/2, (1+√5)/2, (1-i√3)/2, (1+i√3)/2, -√2,
>>>>> √2, - i√2, i√2,…,
>>>>> 3, -3, …
>>>>> …
>>>>>
>>>>> Das sieht für dich vielleicht kompliziert aus, trotzdem ist es eine
>>>>> einfache Abzählung, denn jede algebraische Zahl „kommt dran“, ist also
>>>>> einer natürlichen Zahl zugeordnet. Aber du hast ja schon Probleme bei
>>>>> der Abzählung der natürlichen Zahlen.
>>>>
>>>> Ich glaube, Du hast hier ein paar Schritte "übersprungen", die WM
>>>> ebenfalls Probleme bereiten: Wo man z. B. gewinnbringend den
>>>> Dedekindschen Rekursionssatz (für eine "rekursive Definition")
>>>> verwenden kann, faselt Mückenheim etwas von "Supertasks", usw. usf.
>>>>
>>>> Nun habe ich aber in dem Buch "Introduction to Metamathematics" von
>>>> S. C. Kleene eine witzige Alternative zu dem üblichen Beweis (der
>>>> über die "Höhe" des Polynoms geht) gesehen:
>>>>
>>>> "Another device will illustrate the possibilities for enumerating
>>>> sets. In dealing with an enumerable set (finite or infinite), the
>>>> numbers which correspond to the members in some specified
>>>> enumeration can be used to designate or name the members
>>>> individually. Now conversely, if a name or explicit expression can
>>>> be assigned to every one of the members of a set individually, in a
>>>> preassigned and unambiguous system of nota tion, the set is
>>>> enumerable (finite or infinite). We stipulate that a name or
>>>> expression shall be a finite sequence of symbols chosen from a given
>>>> finite alphabet of available symbols. For example, the algebraic
>>>> equations with integral coefficients can be written using decimal
>>>> notation for the coefficients and exponents. The raised exponents
>>>> are an inessential feature of the notation, which can be removed by
>>>> a suitable convention. Indeed, so long as we are dealing only with
>>>> these equations, we may simply write the exponents on the line. The
>>>> symbols required are then precisely
>>>>
>>>> 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, +, -, =
>>>>
>>>> The first symbol in an equation is not a 0. Reinterpret these
>>>> symbols as the digits (!) in a quattuordecimal number system, i.e. a
>>>> number system based on 14 in the same way that the decimal system is
>>>> based on 10. Every equation becomes a natural number (distinct
>>>> equations becoming distinct numbers). Enumerate the equations in the
>>>> order of magnitude of these numbers."
>>>
>>> Der gute Mückenheim wird vermutlich "Enumerate the equations in the
>>> order of magnitude of these numbers" als Aufforderung einen Supertask
>>> zu performen, auffassen. (Als ob man das könnte, wenn man nicht
>>> gerade Chuck Norris ist!) :-)
>>
>> Viell. sollten wir der Einfachheit halber erst einmal eine (gewisse)
>> Abzählung der Primzahlen betrachten. Oder, was auf das gleiche
>> hinausläuft, die (unendliche) Folge der Primzahlen, "der Größe nach
>> geordnet" ("in the order of magnitude of these numbers").
>>
>> Anschaulich/heuristisch ist klar, dass wir die Folge
>>
>> (2, 3, 5, 7, 11, ...)
>>
>> meinen. N u r ... wie beweist man deren Existenz (im Kontext der/einer
>> axiomatischen Mengenlehre)?
>>
>> Hier kann man sich mit dem Dedekindschen Rekursionssatz behelfen, um
>> eine "rekursive Definition" für diese Folge anzugeben, wie man so sagt.
>>
>> Was für WOLLEN, ist also eine Definition für eine bijektive Funktion
>>
>> p: IN --> P ,
>>
>> so dass
>>
>> p(1) = 2
>> und
>> p streng monoton wachsend
>> ist.
>>
>> Also so, dass p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, p(4) = 7, p(5) = 11 usw. ist.
>>
>> Das legt folgende rekursive Definition von p: IN --> P nahe:
>>
>> | p(1) = 2
>> | p(n+1) = min {p' e P : p' > p(n} (n e IN)
>>
>> Wie man leicht zeigen kann, ist die so definierte Funktion p: IN --> P
>> injektiv und surjektiv, also eine Bijektion. Außerdem ist klar, dass
>> diese Funktion monoton wachsend ist und p(1) = 2 ist. Mission
>> accomplished!
>>
>> @Mückenheim: Ganz ohne Supertask!
>>
> Mal ein offenes Wort unter Kollegen: Wenn ich Mückenheim wäre, würde ich
> rekursive Definitionen einfach *verbieten*.
Allerdings käme der Mückenmann damit mehr als 100 Jahre zu spät. Will
sagen: solche Bestrebungen gab's schon mal:
„Was Weyl und Brouwer tun, kommt im Grunde darauf hinaus, daß sie die
einstigen Pfade von Kronecker wandeln: sie suchen die Mathematik dadurch
zu begründen, daß sie alles ihnen unbequem erscheinende über Bord werfen
und eine Verbotsdiktatur à la Kronecker errichten. Dies heißt aber
unsere Wissenschaft zerstückeln und verstümmeln, und wir laufen Gefahr
einen großen Teil unserer wertvollsten Schätze zu verlieren, wenn wir
solchen Reformatoren folgen. […] nein, Brouwer ist nicht, wie Weyl meint
die Revolution, sondern die Wiederholung eines Putschversuches mit alten
Mitteln, der seinerzeit, viel schneidiger unternommen, doch gänzlich
mißlang und jetzt zumal, wo die Staatsmacht durch Frege, Dedekind und
Cantor so wohlgerüstet und befestigt ist, von vornherein zur
Erfolglosigkeit verurteilt ist."
[D. Hilbert: "Die Neubegründung der Mathematik. Erste Mitt." Abhandl. d.
Math. Seminars d. Univ. Hamburg, Bd. 1 (1922), S. 157-177 (1922)]
Frege ... Dedekind ... Cantor ...
Danach einerseits Russell, Whitehead ... und andererseits Zermelo,
Fraenkel, Skolem, von Neumann, Bernays, Gödel, Ackermann, Quine, Morse,
Kelley, usw. usf.
>> Das rechtfertigt die Schreibweise:
>>
>> p = (2, 3, 5, 7, 11, ...)
>>
>> bzw. Die Sprechweise von der "Folge der (der Größe nach geordneten)
>> Primzahlen p_1, p_2, p_3, ...", etc.
>>
>> Anders als in der Mückenmatik DEFINIEREN wir in der Mathematik
>> "mathematische Objekte", bevor wir über sie sprechen [es sei denn, es
>> handelt sich um "primitive notions"].
>>
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