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num: 29403
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : MoebiusDATE : Thu, 29 Jan 2026 22:15:23 +0100 TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen --------------------------------------------- Am 29.01.2026 um 19:40 schrieb Moebius: > Am 29.01.2026 um 19:25 schrieb Moebius: >> Am 29.01.2026 um 19:02 schrieb Moebius: >>> Am 29.01.2026 um 18:49 schrieb Moebius: >>>> Am 29.01.2026 um 18:18 schrieb Moebius: >>>>> Am 29.01.2026 um 02:42 schrieb Moebius: >>>>>> Am 28.01.2026 um 21:21 schrieb Moebius: >>>>>>> Am 28.01.2026 um 03:37 schrieb Moebius: >>>>>>>> Am 28.01.2026 um 00:38 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn: >>>>>>>>> WM wrote: >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> Im Brief an Lipschitz entfallen die Dubletten. >>>>>>>>>> Aber eine Formel zur Berechnung der Indizes in diesem Falle >>>>>>>>>> hat Cantor nicht. >>>>>>>>>> Er fragt im Brief danach. Also ist da eine Supertask angezeigt. >>>>>>>>>> >>>>>>>> Schwachsinn. >>>>>>>> >>>>>>>> Es gibt verschiedene (rein) mengentheoretische Möglichkeiten, um >>>>>>>> die _Existenz_ einer Bijektion von IN auf (erst mal nur) Q+ zu >>>>>>>> zeigen. (Und mindestens eine war offenbar schon Cantor bekannt.) >>>>>>>> >>>>>>>> Man konnte z. B. den Satz heranziehen, dass eine unendliche >>>>>>>> Teilmenge einer abzählbar unendlichen Menge ebenfalls abzählbar >>>>>>>> unendlich ist. >>>>>>>> >>>>>>>> Eine andere Möglichkeit wäre, dazu den Satz von Cantor- >>>>>>>> Bernstein- Schröder heranzuziehen: >>>>>>>> >>>>>>>> Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor-Bernstein- >>>>>>>> Schr%C3%B6der >>>>>>>> >>>>>>>>> Wenn man die nachträglich entfernen muss, weil man Deine Formel >>>>>>>>> verwendet, dann ist das wohl so. >>>>>>>>> >>>>>>>> Nein, das ist nicht so. >>>>>> >>>>>> Lass Dir doch bitte nicht von Mückenheim den Verstand vernebeln. >>>>>> Es genügt, dass hier _ein_ Spinner (Crank) unterwegs ist. >>>>>> >>>>>> Also: >>>>>> >>>>>>> Beweis z. B. mit dem Dedekindschen Rekursionssatz. >>>>>>> >>>>>>> Um das mal im Detail zu zeigen, benötigen wir ein paar klar >>>>>>> definierte "Begriffe": >>>>>>> >>>>>>> Ein /Bruch/ ist ein geordnetes Paar natürlicher Zahlen: (a, b) >>>>>>> (mit a, b e IN). Aus historischen Gründen schreibt man dafür >>>>>>> meist "a/ b". Wir wollen das hier auch so machen. >>>>>>> >>>>>>> Eine /pos. rationale Zahl/ ist eine "Äquivalenzklasse" >>>>>>> äquivalenter Brüche. (Was hier "äquivalent" bedeutet kann/muss >>>>>>> man natürlich noch genau angeben. Es ist hier aber -im Moment- >>>>>>> nicht wesentlich. Na gut: a/b ~ c/d <-> a*d = b*c.) >>>>>>> >>>>>>> So ist also z. B. {1/1, 2/2, 3/3, ...} eine pos. rationale Zahl. >>>>>>> >>>>>>> Jedes Element dieser Menge (also jeder Bruch in dieser Menge) ist >>>>>>> ein "Repräsentant" dieser pos. rationale Zahl. Eben darum >>>>>>> schreibt man oft so etwas wie: 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... (wobei hier >>>>>>> die Symbole "1/1", "2/2", "3/3", ... die oben erwähnte Menge >>>>>>> bezeichnen und nicht die Brüche (die ja verschieden wären). >>>>>>> >>>>>>> Um diesem Umstand (for the sake of the argument) gerecht zu >>>>>>> werden, werden wir hier "a/b" mit a,b e IN _immer_ als _Bruch_ >>>>>>> auffassen, also als (a, b) und NICHT als pos. rationale Zahl. >>>>>>> >>>>>>> [a/b] soll nun die pos. rationale Zahl bezeichnen, deren Element >>>>>>> a/ b ist. >>>>>>> >>>>>>> W i r schreiben also [1/1] = [2/2] = [3/3] = ... statt (wie >>>>>>> üblich) 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... Und für uns sind /die Brüche 1/1, >>>>>>> 2/2, 3/3, ... "paarweise verschieden"; also z.B. 1/1 =/= 2/2 >>>>>>> (weil (1, 1) =/= (2, 2) ist). >>>>>>> >>>>>>> "Umgekehrt" wollen wir mit vgb(q) (wo e Q ist) den "vollständig >>>>>>> gekürzten Bruch" verstehen, der in q ist). (Es gibt, wie man sich >>>>>>> leicht überlegt, zu jeder pos. rationalen Zahl lediglich einen >>>>>>> solchen Bruch. (Statt von dem "vollständig gekürzten Bruch" >>>>>>> spricht man auch manchmal von der "kanonischen Darstellung" der >>>>>>> pos. rationalen Zahl, um die es geht.) >>>>>>> >>>>>>> Aus diesen Definition erhalten wir also z. B.: >>>>>>> >>>>>>> vbg([1/1]) = 1/1 >>>>>>> >>>>>>> vbg([1/2]) = 1/2 >>>>>>> >>>>>>> usw. >>>>>>> >>>>>>> Aber eben z. B. auch >>>>>>> >>>>>>> vbg([2/2]) = 1/1. >>>>>>> >>>>>>> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ >>>>>> >>>>>> Cantor gibt nun eine bijektive Abbildung c von IN x IN auf IN an. >>>>>> Also de facto eine Abbildung von der Menge der Brüche auf die >>>>>> Menge IN: >>>>>> >>>>>> c(n, m) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 (für alle m,m >>>>>> e IN) >>>>>> >>>>>> Da es zu jeder Bijektion f eine Umkehrfunktion f^-1 gibt, hat auch >>>>>> c eine Umkehrfunktion, die wir d nennen wollen. >>>>>> >>>>>> d: IN --> IN x IN, d = c^-1. >>>>>> >>>>>> Diese Funktion d ist genau die FOLGE, die Mückenheim so gerne >>>>>> zitiert: >>>>>> >>>>>> d = (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, >>>>>> 1/5, ...) >>>>>> >>>>>> Mit anderen Worten eine bijektive Abbildung von IN auf die Menge >>>>>> der Brüche. Damit ist gezeigt, dass die Menge der Brüche >>>>>> "abzählbar unendlich" ist. >>>>>> >>>>>> Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/ >>>>>> Cantorsche_Paarungsfunktion#Umkehrfunktion >>>>>> >>>>>> Was uns jetzt noch fehlt, ist der _Beweis_, dass auch die Menge >>>>>> der pos. rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist. >>>>> >>>>> Dazu definieren wir erst einmal die Menge VGB der vollständig >>>>> gekürzten Brüche wie folgt: >>>>> >>>>> VGB = {vgb(q) : q e Q} . >>>> >>>> Alternative Definition: >>>> >>>> VGB = {b e Im(d) : Ei e IN(b = d(i) & vollst.gekürtzt(d(i))} . >>>> >>>>> Unser Problem ist, dass "die Abzählung" d nicht nur die Elemente in >>>>> VBG als Terme enthält, sondern darüber hinaus auch Brüche wie 2/2, >>>>> 2/6, usw. >>>>> >>>>> Um diese "los zu werden", eliminieren wir die Indizes, die solche >>>>> Brüche "indizieren". Dazu definieren wir die Menge >>>>> >>>>> I = {i e IN : d(i) e VGB} . >>>>> >>>>> Diese enthält nur noch die Indizes der Terme der Folge d, die >>>>> vollständig gekürzte Brüche sind: >>>>> >>>>> I = {1, 2, 3, 4, 6, ...}. >>>>> >>>>> Alles was uns jetzt noch fehlt, ist eine bijektive Abbildung von IN >>>>> auf I. >>>>> >>>>> Diese verschaffen wir uns mit Hilfe des Dedekindschen >>>>> Rekursionssatzes und den beiden Rekursionsgleichungen: >>>>> >>>>> | n(1) = min I >>>>> | n(k+1) = min {i e I : i > n(k)} (k e IN) >>>>> >>>>> Damit haben wir (wie man leicht zeigen kann) eine bijektive >>>>> Funktion von IN auf I definiert: >>>>> >>>>> n = (1, 2, 3, 4, 6, ...) >>>>> >>>>> Jetzt endlich können wir eine bijektive Abbildung von IN auf die >>>>> Menge der pos. rationalen Zahlen angeben (definieren): >>>>> >>>>> d': IN --> Q+, d'(k) = [d(n(k))] (für alle k e IN) . >>>>> >>>>> Geschafft! Die Menge der pos. rationalen Zahlen ist also abzählbar >>>>> unendlich. >>>>> >>> Es gibt auch einfachere Möglichkeiten. So kann man dazu z. B.auch den >>> Satz von Cantor-Bernstein-Schröder heranzuziehen. >> >> Dazu definieren wir 2 Funktionen f, g wie folgt: >> >> f: Q+ --> {n/m : n, m e IN} (Menge der Brüche) >> q |-> vgb(q) >> und >> g: {n/m : n, m e IN} --> Q+ >> n/m |-> [2^n/3^m] >> >> Man kann nun leicht zeigen, dass f und g injektiv sind. Nach dem Satz >> von Cantor-Bernstein-Schröder folgt daraus, dass Q+ und {n/m : n, m e >> IN} äquivalent (gleichmächtig) sind. Mit anderen Worten, Q+ ist >> abzählbar unendlich, weil {n/m : n,m e IN} (die Menge der Brüche) >> abzählbar unendlich ist. >> >> Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor-Bernstein- >> Schr%C3%B6der > > Cantor waren derartig triviale mengentheoretische Sachverhalte natürlich > völlig klar, was wohl auch der Grund dafür war, dass er (offenbar) > keinen allzugroßen Unterschied zwischen > > (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...) > und > (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...) > > "sah". > > Natürlich ist es besser, dass explizit zu zeigen als nur "zu sehen". :-) > > "Der Äquivalenzsatz wurde 1887 von Georg Cantor formuliert, aber erst > 1897 vom 19-jährigen Felix Bernstein in einem von Georg Cantor > geleiteten Seminar [...] bewiesen." (Wikipedia) > > Aber auch der rührige Dedekind hat diesen Satz gekannt und schon 1887 > (!) bewiesen. > > "Dedekind selbst fand den Beweis des Äquivalenzsatzes (welcher sich in > seinem Nachlass fand) bereits am 11. Juli 1887, jedoch publizierte er > ihn nicht und teilte ihn auch nicht Cantor mit." (Wikipedia) > > Dedekind? Hatten wir den nicht schon? :-) "Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder ist ein wichtiges Hilfsmittel beim Nachweis der Gleichmächtigkeit zweier Mengen." (Wikipedia) Stimmt. @Mückenheim: Supertasks werden nur in Mückenhausen für "Beweise" verwendet. In der Mengenlehre stützt man sich aber auf mengentheoretische Sachverhalte (und entsprechende Sätze). >>>>> Auch wenn Mückenheim zu doof und zu blöde ist, um das zu verstehen: >>>>> Wir beziehen uns in der Mathematik nicht auf Supertasks, um >>>>> irgendwas zu beweisen. (Da Mückenheim von mathematischen Beweisen >>>>> keine Ahnung hat, kann er das natürlich nicht wissen.) >>>>> >>>>> Lit.: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/rekursionssatz/8463 -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com head: