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num: 29403
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Thu, 29 Jan 2026 22:15:23 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
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Am 29.01.2026 um 19:40 schrieb Moebius:
> Am 29.01.2026 um 19:25 schrieb Moebius:
>> Am 29.01.2026 um 19:02 schrieb Moebius:
>>> Am 29.01.2026 um 18:49 schrieb Moebius:
>>>> Am 29.01.2026 um 18:18 schrieb Moebius:
>>>>> Am 29.01.2026 um 02:42 schrieb Moebius:
>>>>>> Am 28.01.2026 um 21:21 schrieb Moebius:
>>>>>>> Am 28.01.2026 um 03:37 schrieb Moebius:
>>>>>>>> Am 28.01.2026 um 00:38 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>>>>>>>> WM wrote:
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> Im Brief an Lipschitz entfallen die Dubletten.
>>>>>>>>>> Aber eine Formel zur Berechnung der Indizes in diesem Falle
>>>>>>>>>> hat Cantor nicht.
>>>>>>>>>> Er fragt im Brief danach. Also ist da eine Supertask angezeigt.
>>>>>>>>>>
>>>>>>>> Schwachsinn.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Es gibt verschiedene (rein) mengentheoretische Möglichkeiten, um
>>>>>>>> die _Existenz_ einer Bijektion von IN auf (erst mal nur) Q+ zu
>>>>>>>> zeigen. (Und mindestens eine war offenbar schon Cantor bekannt.)
>>>>>>>>
>>>>>>>> Man konnte z. B. den Satz heranziehen, dass eine unendliche
>>>>>>>> Teilmenge einer abzählbar unendlichen Menge ebenfalls abzählbar
>>>>>>>> unendlich ist.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Eine andere Möglichkeit wäre, dazu den Satz von Cantor-
>>>>>>>> Bernstein- Schröder heranzuziehen:
>>>>>>>>
>>>>>>>> Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor-Bernstein-
>>>>>>>> Schr%C3%B6der
>>>>>>>>
>>>>>>>>> Wenn man die nachträglich entfernen muss, weil man Deine Formel
>>>>>>>>> verwendet, dann ist das wohl so.
>>>>>>>>>
>>>>>>>> Nein, das ist nicht so.
>>>>>>
>>>>>> Lass Dir doch bitte nicht von Mückenheim den Verstand vernebeln.
>>>>>> Es genügt, dass hier _ein_ Spinner (Crank) unterwegs ist.
>>>>>>
>>>>>> Also:
>>>>>>
>>>>>>> Beweis z. B. mit dem Dedekindschen Rekursionssatz.
>>>>>>>
>>>>>>> Um das mal im Detail zu zeigen, benötigen wir ein paar klar
>>>>>>> definierte "Begriffe":
>>>>>>>
>>>>>>> Ein /Bruch/ ist ein geordnetes Paar natürlicher Zahlen: (a, b)
>>>>>>> (mit a, b e IN). Aus historischen Gründen schreibt man dafür
>>>>>>> meist "a/ b". Wir wollen das hier auch so machen.
>>>>>>>
>>>>>>> Eine /pos. rationale Zahl/ ist eine "Äquivalenzklasse"
>>>>>>> äquivalenter Brüche. (Was hier "äquivalent" bedeutet kann/muss
>>>>>>> man natürlich noch genau angeben. Es ist hier aber -im Moment-
>>>>>>> nicht wesentlich. Na gut: a/b ~ c/d <-> a*d = b*c.)
>>>>>>>
>>>>>>> So ist also z. B. {1/1, 2/2, 3/3, ...} eine pos. rationale Zahl.
>>>>>>>
>>>>>>> Jedes Element dieser Menge (also jeder Bruch in dieser Menge) ist
>>>>>>> ein "Repräsentant" dieser pos. rationale Zahl. Eben darum
>>>>>>> schreibt man oft so etwas wie: 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... (wobei hier
>>>>>>> die Symbole "1/1", "2/2", "3/3", ... die oben erwähnte Menge
>>>>>>> bezeichnen und nicht die Brüche (die ja verschieden wären).
>>>>>>>
>>>>>>> Um diesem Umstand (for the sake of the argument) gerecht zu
>>>>>>> werden, werden wir hier "a/b" mit a,b e IN _immer_ als _Bruch_
>>>>>>> auffassen, also als (a, b) und NICHT als pos. rationale Zahl.
>>>>>>>
>>>>>>> [a/b] soll nun die pos. rationale Zahl bezeichnen, deren Element
>>>>>>> a/ b ist.
>>>>>>>
>>>>>>> W i r schreiben also [1/1] = [2/2] = [3/3] = ... statt (wie
>>>>>>> üblich) 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... Und für uns sind /die Brüche 1/1,
>>>>>>> 2/2, 3/3, ... "paarweise verschieden"; also z.B. 1/1 =/= 2/2
>>>>>>> (weil (1, 1) =/= (2, 2) ist).
>>>>>>>
>>>>>>> "Umgekehrt" wollen wir mit vgb(q) (wo e Q ist) den "vollständig
>>>>>>> gekürzten Bruch" verstehen, der in q ist). (Es gibt, wie man sich
>>>>>>> leicht überlegt, zu jeder pos. rationalen Zahl lediglich einen
>>>>>>> solchen Bruch. (Statt von dem "vollständig gekürzten Bruch"
>>>>>>> spricht man auch manchmal von der "kanonischen Darstellung" der
>>>>>>> pos. rationalen Zahl, um die es geht.)
>>>>>>>
>>>>>>> Aus diesen Definition erhalten wir also z. B.:
>>>>>>>
>>>>>>> vbg([1/1]) = 1/1
>>>>>>>
>>>>>>> vbg([1/2]) = 1/2
>>>>>>>
>>>>>>> usw.
>>>>>>>
>>>>>>> Aber eben z. B. auch
>>>>>>>
>>>>>>> vbg([2/2]) = 1/1.
>>>>>>>
>>>>>>> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>>>>>>
>>>>>> Cantor gibt nun eine bijektive Abbildung c von IN x IN auf IN an.
>>>>>> Also de facto eine Abbildung von der Menge der Brüche auf die
>>>>>> Menge IN:
>>>>>>
>>>>>> c(n, m) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 (für alle m,m
>>>>>> e IN)
>>>>>>
>>>>>> Da es zu jeder Bijektion f eine Umkehrfunktion f^-1 gibt, hat auch
>>>>>> c eine Umkehrfunktion, die wir d nennen wollen.
>>>>>>
>>>>>> d: IN --> IN x IN, d = c^-1.
>>>>>>
>>>>>> Diese Funktion d ist genau die FOLGE, die Mückenheim so gerne
>>>>>> zitiert:
>>>>>>
>>>>>> d = (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1,
>>>>>> 1/5, ...)
>>>>>>
>>>>>> Mit anderen Worten eine bijektive Abbildung von IN auf die Menge
>>>>>> der Brüche. Damit ist gezeigt, dass die Menge der Brüche
>>>>>> "abzählbar unendlich" ist.
>>>>>>
>>>>>> Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/
>>>>>> Cantorsche_Paarungsfunktion#Umkehrfunktion
>>>>>>
>>>>>> Was uns jetzt noch fehlt, ist der _Beweis_, dass auch die Menge
>>>>>> der pos. rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.
>>>>>
>>>>> Dazu definieren wir erst einmal die Menge VGB der vollständig
>>>>> gekürzten Brüche wie folgt:
>>>>>
>>>>> VGB = {vgb(q) : q e Q} .
>>>>
>>>> Alternative Definition:
>>>>
>>>> VGB = {b e Im(d) : Ei e IN(b = d(i) & vollst.gekürtzt(d(i))} .
>>>>
>>>>> Unser Problem ist, dass "die Abzählung" d nicht nur die Elemente in
>>>>> VBG als Terme enthält, sondern darüber hinaus auch Brüche wie 2/2,
>>>>> 2/6, usw.
>>>>>
>>>>> Um diese "los zu werden", eliminieren wir die Indizes, die solche
>>>>> Brüche "indizieren". Dazu definieren wir die Menge
>>>>>
>>>>> I = {i e IN : d(i) e VGB} .
>>>>>
>>>>> Diese enthält nur noch die Indizes der Terme der Folge d, die
>>>>> vollständig gekürzte Brüche sind:
>>>>>
>>>>> I = {1, 2, 3, 4, 6, ...}.
>>>>>
>>>>> Alles was uns jetzt noch fehlt, ist eine bijektive Abbildung von IN
>>>>> auf I.
>>>>>
>>>>> Diese verschaffen wir uns mit Hilfe des Dedekindschen
>>>>> Rekursionssatzes und den beiden Rekursionsgleichungen:
>>>>>
>>>>> | n(1) = min I
>>>>> | n(k+1) = min {i e I : i > n(k)} (k e IN)
>>>>>
>>>>> Damit haben wir (wie man leicht zeigen kann) eine bijektive
>>>>> Funktion von IN auf I definiert:
>>>>>
>>>>> n = (1, 2, 3, 4, 6, ...)
>>>>>
>>>>> Jetzt endlich können wir eine bijektive Abbildung von IN auf die
>>>>> Menge der pos. rationalen Zahlen angeben (definieren):
>>>>>
>>>>> d': IN --> Q+, d'(k) = [d(n(k))] (für alle k e IN) .
>>>>>
>>>>> Geschafft! Die Menge der pos. rationalen Zahlen ist also abzählbar
>>>>> unendlich.
>>>>>
>>> Es gibt auch einfachere Möglichkeiten. So kann man dazu z. B.auch den
>>> Satz von Cantor-Bernstein-Schröder heranzuziehen.
>>
>> Dazu definieren wir 2 Funktionen f, g wie folgt:
>>
>> f: Q+ --> {n/m : n, m e IN} (Menge der Brüche)
>> q |-> vgb(q)
>> und
>> g: {n/m : n, m e IN} --> Q+
>> n/m |-> [2^n/3^m]
>>
>> Man kann nun leicht zeigen, dass f und g injektiv sind. Nach dem Satz
>> von Cantor-Bernstein-Schröder folgt daraus, dass Q+ und {n/m : n, m e
>> IN} äquivalent (gleichmächtig) sind. Mit anderen Worten, Q+ ist
>> abzählbar unendlich, weil {n/m : n,m e IN} (die Menge der Brüche)
>> abzählbar unendlich ist.
>>
>> Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor-Bernstein-
>> Schr%C3%B6der
>
> Cantor waren derartig triviale mengentheoretische Sachverhalte natürlich
> völlig klar, was wohl auch der Grund dafür war, dass er (offenbar)
> keinen allzugroßen Unterschied zwischen
>
> (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...)
> und
> (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...)
>
> "sah".
>
> Natürlich ist es besser, dass explizit zu zeigen als nur "zu sehen". :-)
>
> "Der Äquivalenzsatz wurde 1887 von Georg Cantor formuliert, aber erst
> 1897 vom 19-jährigen Felix Bernstein in einem von Georg Cantor
> geleiteten Seminar [...] bewiesen." (Wikipedia)
>
> Aber auch der rührige Dedekind hat diesen Satz gekannt und schon 1887
> (!) bewiesen.
>
> "Dedekind selbst fand den Beweis des Äquivalenzsatzes (welcher sich in
> seinem Nachlass fand) bereits am 11. Juli 1887, jedoch publizierte er
> ihn nicht und teilte ihn auch nicht Cantor mit." (Wikipedia)
>
> Dedekind? Hatten wir den nicht schon? :-)
"Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder ist ein wichtiges Hilfsmittel
beim Nachweis der Gleichmächtigkeit zweier Mengen." (Wikipedia)
Stimmt.
@Mückenheim: Supertasks werden nur in Mückenhausen für "Beweise"
verwendet. In der Mengenlehre stützt man sich aber auf
mengentheoretische Sachverhalte (und entsprechende Sätze).
>>>>> Auch wenn Mückenheim zu doof und zu blöde ist, um das zu verstehen:
>>>>> Wir beziehen uns in der Mathematik nicht auf Supertasks, um
>>>>> irgendwas zu beweisen. (Da Mückenheim von mathematischen Beweisen
>>>>> keine Ahnung hat, kann er das natürlich nicht wissen.)
>>>>>
>>>>> Lit.: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/rekursionssatz/8463
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