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num: 30198
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Stefan Ram
DATE : 11 Apr 2026 23:35:58 GMT
TEMA : Re: Isomorphie
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Marc Olschok schrieb oder zitierte:
>Der Begriff des Homomorphismus und Isomorphismus ist nur zwischen
>Strukturen gleichen Typs sinnvoll. Der englische Wikipediaeintrag
>nennt das explizit, aber sogar im obigen deutschen Text ist klar, dass
>die betreffenden Signaturen übereinstimmen müssen, denn die oben
>genannten Relationen und Operationen der beiden Strukturen müssen
>miteinander korrespondieren.
Für die Verwendung eines mathematischen Begriffs innerhalb eines
mathematischen Diskurses ist es am besten, wenn die Teilnehmer sich
auf eine bestimmte Quelle für die Definition dieses Begriffs einigen,
da es keine einheitliche Definition von Begriffen für die gesamte
Mathematik gibt, die schon ohne solch eine Einigung gilt.
Ich nehme als Beispiel einmal
Mathematics of the Transcendental von Alain Badiou (übersetzt), 2014.
Dort gibt es ein eigenes Kapitel 7 "Isomorphism".
Daraus zitiere ich:
|If we have f going from a[ to b], and then we have g going
|from b to a, we get the composite g o f which is an arrow from
|a to a. To say this is a null action is tantamount to making
|it equal to the identity arrow of a. And the same goes for the
|other direction. We will thus have the commutative diagram:
|
| g -.
| .. <--------------------------------- .. | f o g = Id(b)
|' 'a f b' ' -
|'.>' ---------------------------------> '<.' | g o f = Id(a)
|Id(a) Id(b) -'
|
|If there is such a pair of arrows between two objects,
|we will say that these two objects are isomorphic.
|The arrow f will be called an isomorphism from a to b, and
|the arrow g will be called the inverse arrow (obviously this
|is also an isomorphism, and we can also say f is the inverse
|of g).
(Ich habe "[ to b]" ergänzt, ein Komma eingefügt und das
Diagramm etwas an das Medium Usenet angepaßt). Hier sind a
und b Objekte und f und g Pfeile.
Diese Definition setzt natürlich Kenntnisse der Kategorie-
theorie voraus, aber ich habe sie hier weniger zitiert,
um den Begriff "Isomorphismus" zu klären, sondern mehr
als ein Beispiel dafür, daß solche Begriffe prinzipiell
von der gewählten Quelle abhängen und man sich daher am
besten zuerst auf eine Quelle einigt. Man wird in anderen
Büchern andere Definitionen von "isomorphism" finden als
die von Badiou!
Dann gibt es aber noch einen "verschulten" Teil der Mathematik,
in dem Begriffe eine allgemeine, werkunabhängige Bedeutung haben
können, die aber etwas vager sein kann als die eines speziellen
Werkes. Der Inbegriff einer verschulten Mathematik ist für mich
das Lexikon "Mathematik" aus dem Duden-Verlag. Also sei auch noch
von dort zitiert:
|Isomorphismus: Bezeichnung für eine verknüpfungstreue,
|bijektive Abbildung zwischen zwei Verknüpfungsgebilden.
|Beispiel: A sei die Menge der ganzen Zahlen, B sei die
|Menge der geraden Zahlen. Dann ist die Abbildung
|f: A -> B mit f(a)=2a
|ein Isomorphismus zwischen den Verknüpfungsgebilden (A,+)
|und (B,+), denn f ist bijektiv und f ist verknüpfungstreu:
|Es gilt: f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b).
. Ein "Verknüpfungsgebilde" ist dort ein Paar aus einer Menge
und einer oder zwei in ihr definierten Verknüpfung(en).
Es geht hier nun weniger um den Inhalt dieser beiden
Definitionen im Detail als darum, daß sie offensichtlich
verschieden sind, was ich illustrieren wollte!
Also: Mathematische Begriffe sind Begriffe, auf deren
Definition sich die Teilnehmer an einem mathematischen
Diskurs geeinigt haben. Quelle einer Definition kann ein
Text eines Teilnehmers genauso wie ein Text von außen sein.
Es gibt nicht "die" Definition eines mathematischen Begriffs,
die schon ohne solch eine Einigung gegeben ist.
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