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------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Martin VaethDATE : 15 Jan 2026 19:55:07 GMT TEMA : Re: Summationsmethoden =?UTF-8?Q?f=C3=BCr?= divergente Reihen // TH28 --------------------------------------------- Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb: > Rainer Rosenthal wrote: >> Am 14.01.2026 um 21:51 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn: >>> ω ist *definiert* als der *Ordnungstyp* der Menge der natürlichen Zahlen, >>> also die zu der _Menge_ der natürlichen Zahlen zugehörige _Ordinalzahl_. >> >> Eine *Menge* hat nur eine Kardinalzahl, keine Ordinalzahl. Nur eine >> *geordnete Menge* hat auch eine Ordinalzahl. > > Könntest Du bitte kurz den Unterschied an einem Beispiel erklären? Betrachte etwa 1) die natürliche Ordnung O_1 von \N = {1, 2, ...} 2) eine andere Ordnung O_2 auf \N, die folgendermaßen erklärt ist: (i) Sind n und m natürliche Zahlen ungleich 1, so sei n <= m genau dann, wenn n in der natürlichen Ordnung höchstens m ist. (ii) Ist n eine natürliche Zahl, so ist n <= 1. In beiden Fällen hat man es mit der Menge \N zu tun, aber \N mit der Ordnung O_1 hat den Ordnungstyp (also die zugeordnete Ordinalzahl \omega), während \N mit der Ordnung O_2 den Ordnungstyp (also die zugeordnete Ordinalzahl) \omega + 1 hat. Ohne die Ordnung zu kennen, kann man also nicht von der Menge (\N) auf den Ordnungstyp (also die zugeordnete Ordinalzahl) schließen. > Mich verwirren auch zwei verschiedene Notationen: Einerseits [...] > >| ω + ω = ord({0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0_(0) < 1_(0) < 2_(0) < 3_(0) < ...}) Ich finde diese Notation - Menge und Ordnung in einer Pünktchennotation zu vereinen - sehr unglücklich, aber man kann vielleich ahnen, welche Menge und welche Ordnung gemeint sind. Mehr als ahnen ist mit dieser Notation aber wohl nicht möglich. \N mit den Ordnungen O_1 bzw. O_2 wäre in dieser etwas unglücklichen Notation wohl { 1 < 2 < 3 < ... } { 2 < 3 < 4 < ... < 1 } > Sind {0 < 1 < 2 < 3 < ...} und ord({0 < 1 < 2 < 3 < ...}) äquivalent? Nein: Das Linke soll die Menge zusammen mit der zugehörigen Ordnung bezeichnen (wie gesagt, m.E. eine sehr unglückliche Notation), das Rechte den zugehörigen Ordnungstyp bzw. die zugeordnete Ordinalzahl. > Ist ω die geordnete Menge der natürlichen Zahlen, ist es die Anzahl der > natürlichen Zahlen, oder etwas ganz andreas? \omega ist die kleinste unendliche Ordinalzahl; sie ist dem Ordnungstyp zugeordnet, der \N mit der natürlichen Ordnung entspricht, d.h.: Die Ordinalzahl hat in ihrer natürlichen Ordnung (a < b falls a Element von b ist) diesen Ordnungstyp. In der von-Neumann-Definition der natürlichen Zahlen mit 0 ist \omega die Menge aller natürlichen Zahlen mit 0. head: