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num: 29428
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Thu, 29 Jan 2026 18:49:03 +0100
TEMA  : Re: Definition der reellen Zahlen
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Am 29.01.2026 um 18:18 schrieb Moebius:
> Am 29.01.2026 um 02:42 schrieb Moebius:
>> Am 28.01.2026 um 21:21 schrieb Moebius:
>>> Am 28.01.2026 um 03:37 schrieb Moebius:
>>>> Am 28.01.2026 um 00:38 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>>>> WM wrote:
>>>>>>
>>>>>> Im Brief an Lipschitz entfallen die Dubletten.
>>>>>> Aber eine Formel zur Berechnung der Indizes in diesem Falle hat 
>>>>>> Cantor nicht.
>>>>>> Er fragt im Brief danach. Also ist da eine Supertask angezeigt.
>>>>>>
>>>> Schwachsinn.
>>>>
>>>> Es gibt verschiedene (rein) mengentheoretische Möglichkeiten, um die 
>>>> _Existenz_ einer Bijektion von IN auf (erst mal nur) Q+ zu zeigen. 
>>>> (Und mindestens eine war offenbar schon Cantor bekannt.)
>>>>
>>>> Man konnte z. B. den Satz heranziehen, dass eine unendliche 
>>>> Teilmenge einer abzählbar unendlichen Menge ebenfalls abzählbar 
>>>> unendlich ist.
>>>>
>>>> Eine andere Möglichkeit wäre, dazu den Satz von Cantor-Bernstein- 
>>>> Schröder heranzuziehen:
>>>>
>>>> Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor-Bernstein- 
>>>> Schr%C3%B6der
>>>>
>>>>> Wenn man die nachträglich entfernen muss, weil man Deine Formel 
>>>>> verwendet, dann ist das wohl so.
>>>>>
>>>> Nein, das ist nicht so.
>>
>> Lass Dir doch bitte nicht von Mückenheim den Verstand vernebeln. Es 
>> genügt, dass hier _ein_ Spinner (Crank) unterwegs ist.
>>
>> Also:
>>
>>> Beweis z. B. mit dem Dedekindschen Rekursionssatz.
>>>
>>> Um das mal im Detail zu zeigen, benötigen wir ein paar klar 
>>> definierte "Begriffe":
>>>
>>> Ein /Bruch/ ist ein geordnetes Paar natürlicher Zahlen: (a, b) (mit 
>>> a, b e IN). Aus historischen Gründen schreibt man dafür meist "a/b". 
>>> Wir wollen das hier auch so machen.
>>>
>>> Eine /pos. rationale Zahl/ ist eine "Äquivalenzklasse" äquivalenter 
>>> Brüche. (Was hier "äquivalent" bedeutet kann/muss
>>> man natürlich noch genau angeben. Es ist hier aber -im Moment- nicht 
>>> wesentlich. Na gut: a/b ~ c/d <-> a*d = b*c.)
>>>
>>> So ist also z. B. {1/1, 2/2, 3/3, ...} eine pos. rationale Zahl.
>>>
>>> Jedes Element dieser Menge (also jeder Bruch in dieser Menge) ist ein 
>>> "Repräsentant" dieser pos. rationale Zahl. Eben darum schreibt man 
>>> oft so etwas wie: 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... (wobei hier die Symbole 
>>> "1/1", "2/2", "3/3", ... die oben erwähnte Menge bezeichnen und nicht 
>>> die Brüche (die ja verschieden wären).
>>>
>>> Um diesem Umstand (for the sake of the argument) gerecht zu werden, 
>>> werden wir hier "a/b" mit a,b e IN _immer_ als _Bruch_ auffassen, 
>>> also als (a, b) und NICHT als pos. rationale Zahl.
>>>
>>> [a/b] soll nun die pos. rationale Zahl bezeichnen, deren Element a/b 
>>> ist.
>>>
>>> W i r schreiben also [1/1] = [2/2] = [3/3] = ... statt (wie üblich) 
>>> 1/1 = 2/2 = 3/3 = ...  Und für uns sind /die Brüche 1/1, 2/2, 
>>> 3/3, ... "paarweise verschieden"; also z.B. 1/1 =/= 2/2 (weil (1, 1) 
>>> =/= (2, 2) ist).
>>>
>>> "Umgekehrt" wollen wir mit vgb(q) (wo e Q ist) den "vollständig 
>>> gekürzten Bruch" verstehen, der in q ist). (Es gibt, wie man sich 
>>> leicht überlegt, zu jeder pos. rationalen Zahl lediglich einen 
>>> solchen Bruch. (Statt von dem "vollständig gekürzten Bruch" spricht 
>>> man auch manchmal von der "kanonischen Darstellung" der pos. 
>>> rationalen Zahl, um die es geht.)
>>>
>>> Aus diesen Definition erhalten wir also z. B.:
>>>
>>> vbg([1/1]) = 1/1
>>>
>>> vbg([1/2]) = 1/2
>>>
>>> usw.
>>>
>>> Aber eben z. B. auch
>>>
>>> vbg([2/2]) = 1/1.
>>>
>>> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>>
>> Cantor gibt nun eine bijektive Abbildung c von IN x IN auf IN an. Also 
>> de facto eine Abbildung von der Menge der Brüche auf die Menge IN:
>>
>>            c(n, m) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2    (für alle m,m e IN)
>>
>> Da es zu jeder Bijektion f eine Umkehrfunktion f^-1 gibt, hat auch c 
>> eine Umkehrfunktion, die wir d nennen wollen.
>>
>>            d: IN --> IN x IN, d = c^-1.
>>
>> Diese Funktion d ist genau die FOLGE, die Mückenheim so gerne zitiert:
>>
>>            d = (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 
>> 1/5, ...)
>>
>> Mit anderen Worten eine bijektive Abbildung von IN auf die Menge der 
>> Brüche. Damit ist gezeigt, dass die Menge der Brüche "abzählbar 
>> unendlich" ist.
>>
>> Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/ 
>> Cantorsche_Paarungsfunktion#Umkehrfunktion
>>
>> Was uns jetzt noch fehlt, ist der _Beweis_, dass auch die Menge der 
>> pos. rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.
> 
> Dazu definieren wir erst einmal die Menge VGB der vollständig gekürzten 
> Brüche wie folgt:
> 
>               VGB = {vgb(q) : q e Q} .

Alternative Definition:

		VGB = {b e Im(d) : Ei e IN(b = d(i) & vollst.gekürtzt(d(i))} .

> Unser Problem ist, dass "die Abzählung" d nicht nur die Elemente in VBG 
> als Terme enthält, sondern darüber hinaus auch Brüche wie 2/2, 2/6, usw.
> 
> Um diese "los zu werden", eliminieren wir die Indizes, die solche Brüche 
> "indizieren". Dazu definieren wir die Menge
> 
>               I = {i e IN : d(i) e VGB} .
> 
> Diese enthält nur noch die Indizes der Terme der Folge d, die 
> vollständig gekürzte Brüche sind:
> 
>               I = {1, 2, 3, 4, 6, ...}.
> 
> Alles was uns jetzt noch fehlt, ist eine bijektive Abbildung von IN auf  I.
> 
> Diese verschaffen wir uns mit Hilfe des Dedekindschen Rekursionssatzes 
> und den beiden Rekursionsgleichungen:
> 
> |   n(1) = min I
> | n(k+1) = min {i e I : i > n(k)}     (k e IN)
> 
> Damit haben wir (wie man leicht zeigen kann) eine bijektive Funktion von 
> IN auf I definiert:
> 
>               n = (1, 2, 3, 4, 6, ...)
> 
> Jetzt endlich können wir eine bijektive Abbildung von IN auf die Menge 
> der pos. rationalen Zahlen angeben (definieren):
> 
>           d': IN --> Q+, d'(k) = [d(n(k))]     (für alle k e IN) .
> 
> Geschafft! Die Menge der pos. rationalen Zahlen ist also abzählbar 
> unendlich.
> 
> Auch wenn Mückenheim zu doof und zu blöde ist, um das zu verstehen: Wir 
> beziehen uns in der Mathematik nicht auf Supertasks, um irgendwas zu 
> beweisen. (Da Mückenheim von mathematischen Beweisen keine Ahnung hat, 
> kann er das natürlich nicht wissen.)
> 
> Lit.: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/rekursionssatz/8463
> 
>> .
>> .
>> .
> 
> 
> 


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