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num: 29329
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : wm 
DATE  : Sat, 17 Jan 2026 17:11:28 +0100
TEMA  : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen?=
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Am 17.01.2026 um 15:49 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
> Blacky Cat wrote:
> ^^^^^^^^^^
> Weshalb?
> 
>> Am 17.01.2026 um 00:17 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>>                   ℚ                              ℕ
>>>     _______________________________    ______________________
>>>     1     1/2-- 1/3   1/4-- 1/5 ...    1   3-- 4   9-- 10 ...
>>>     :  ,'     .'   .'     .'           : .'  .'  .'  .'
>>>     2/1  (2/2)  2/3  (2/4)             2   .'  8   .'
>>>         .'    .'    .'                   .'  .'  .'
>>>     3/1   3/2  (3/3)                   5   7   .'
>>>      :  .'    .'                       : .'  .'
>>>     4/1                                6
>>>      .                                 .
>>>      .                                 .                       __
>>>      .                                 .                      |PE
>>
>> Für IN hatte ich das abers im Gedächtnis:
>        ^^
> Ich hatte Dir bereits erklärt, weshalb es unnötig und missverständlich ist,
> für das Symbol der Menge der natürlichen Zahlen die Zeichenfolge "IN" ("I"
> gefolgt von "N") zu verwenden.  Weshalb tust Du es trotzdem?

Es ist im europäischen Raum üblich, die Zahlenmengen durch entsprechende 
Buchstaben mit verdoppeltem Anstrich zu kennzeichnen. Dafür wird oft |N 
oder auch IN verwendet.
> 
>>    \   1  2  3  4  5  6  7
>>     +------------------------>
>> 1 |  1  2  4  7 11 16 22
>> 2 |  3  5  8 12 17 23
>> 3 |  6  9 13 18 24
>> 4 | 10 14 19 25
>> 5 | 15 20 26
>> 6 | 21 27
>> 7 | 28
>> 8 | ...
>>     V
> 
> Diese Darstellung folgt keiner offensichtlichen inneren Logik (es ist nicht
> einmal eine Additions- oder Multiplikationstabelle); aus der Literatur ist
> sie mir nicht bekannt -- Du hast sie wohl gerade erfunden.

Es ist eine Darstellung, welche die Abzählbarkeit der Brüche beweisen 
soll, obwohl schon minder begabte Leser auf den ersten Blick erkennen 
können sollten, dass die Indizes die Matrix der positiven Brüche nicht 
vollständig überdecken können. Für diejenigen, die dazu nicht ohne Hilfe 
in der Lage sind, gibt es mehrer ausführlichere Erklärungen, zum 
Beispiel die folgende:

Wenn alle positiven Brüche m/n existieren, dann befinden sich alle in 
der Matrix

	1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
	2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
	3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
	4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
	5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
	 ...  .

Wenn alle natürlichen Zahlen k existieren, dann können wir sie 
verwenden, um damit die Ganzzahlbrüche m/1 in der ersten Spalte zu 
indizieren. Bezeichnen wir indizierte Brüche mit X und nicht indizierte 
mit O, so ergibt sich die Matrix

	XOOO...
	XOOO...
	XOOO...
	XOOO...
	XOOO...
	 ...  .

Cantor behauptet, dass alle natürlichen Zahlen k existieren und 
verwendet werden können, um alle positiven Brüche m/n zu indizieren. Das 
erfolgt nach der Formel

	k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m

und ergibt eine Folge von Brüchen

	1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, ... .

Diese Folge wird hier als eine Folge von Matrizen modelliert. Wir 
verteilen die Indizes aus der ersten Spalte nach Cantors Vorschrift in 
der Matrix, so dass die Brüche in der gegebenen Reihenfolge indiziert 
werden.

Der Index 1 bleibt bei 1/1, dem ersten Term der Folge. Der nächste Term, 
1/2, erhält den Index 2, der seiner Ausgangsposition 2/1 entnommen wird

	XXOO...
	OOOO...
	XOOO...
	XOOO...
	XOOO...
	 ...  .

Dann wird der Index 3 von 3/1 für die Indizierung von 2/1 verwendet

	XXOO...
	XOOO...
	OOOO...
	XOOO...
	XOOO...
	 ...  .

Dann wird der Index 4 von 4/1 für die Indizierung von 1/3 verwendet

	XXXO...
	XOOO...
	OOOO...
	OOOO...
	XOOO...
	 ...  .

Dann wird der Index 5 von 5/1 für die Indizierung von 2/2 verwendet

	XXXO...
	XXOO...
	OOOO...
	OOOO...
	OOOO...
	 ...  .

Und so weiter. Nach Abschluss der Indizierung, d.h. bei vollständiger 
Abbildung von ℕ in die Brüche, wobei jeder Index seinen endgültigen 
Platz bezogen hat

	XXXX...
	XXXX...
	XXXX...
	XXXX...
	XXXX...
	 ...  ,

stellt sich heraus, dass in der Matrix nur noch indizierte Brüche X 
erkennbar sind, aber kein Bruch ohne Index. Doch ist klar, dass durch 
den Prozess des verlustlosen Austauschens von X und O kein O die Matrix 
verlassen kann, solange nur natürliche Zahlen als Indizes verwendet 
werden. Also sind nicht weniger Brüche ohne Index in der Matrix als am 
Anfang.

Wir wissen, dass alle O und ebensoviele Brüche ohne Index in der Matrix 
noch vorhanden sind, können aber keinen einzigen finden. Die einzig 
mögliche Erklärung dafür ist, dass sie sich an dunklen Positionen befinden.

Gruß, WM

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