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num: 29356
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Thomas 'PointedEars' Lahn
DATE : Sat, 10 Jan 2026 23:23:21 +0100
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen?=
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Martin Vaeth wrote:
> Ulrich D i e z wrote:
>> Martin Vaeth schrieb:
>>> (Der Begriff „analytisch summierbar“ ist von mir natürlich relativ
>>> willkürlich gewählt; falls jemand diese Methode unter anderem Namen
>>> kennt, wäre ich für einen Hinweis dankbar.)
>>
>> Ramanujan-Summation, angedeutet durch ein Majuskel-R in Frakturschrift
>> in runden Klammern? (Not to be confused with Ramanujan's sum ...)
>>
>> Ramanujan_summation#Ramanujan_summation_of_divergent_series>
>
> Danke. Das kannte ich noch nicht. Ich habe es nicht ganz verstanden
> (vor allem, wie man damit auf 1+2+...=-1/12 kommen soll),
Eine Möglichkeit:
[en] Numberphile: "Astounding: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12."
.
Zusammenfassend (und auf Deutsch):
1. Ein Möglichkeit ist, zu definieren, dass
S := 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...
und
S_1 := 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = 1/2,
obwohl letztere Reihe offensichtlich divergent ist (0 = lim inf_{n --> inf}
s_n != lim sup_{n --> inf} s_n = 1, wobei s_n die n-te Partialsumme ist).
(Wie sich zeigt, ist das nicht nur eine Definition basierend auf dem
Mittelwert dieser beiden Grenzwerte.)
2. Wenn man dann definiert
S_2 := 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...,
dann
2 S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
+ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
= S_1 = 1/2,
wobei paarweise summiert wurde.
3. Dann
S - S_2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...
-[1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...]
= 4 + 8 + 12 + ...
= 4 ( 1 + 2 + 3 + ...)
= 4 S.
4. Also
3 S = -S_2 = -1/4
==> S = -1/12.
Dieser Beweis wurde jedoch stark kritisiert.
Problematisch ist der Schritt 2, denn implizit wird dabei die Reihenfolge
der Summation geändert, d. h. behauptet, dass
2 S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
+ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
= 1 + (-2 + 1) + (3 - 2) + (-4 + 3) + ...
Das ist aber nur zulässig, wenn die entsprechende Reihe konvertiert, was
aber ebenfalls nicht der Fall ist:
Für S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ... haben wir die Partialsummen
s_1 = 1
s_2 = -1
s_3 = 2
s_4 = -2
usw. Dieser Beweis funktioniert also nur, wenn man annimmt, dass diese
Reihe einen (unbekannten) Grenzwert hat.
Wie in dem Video jedoch auch erwähnt, lässt es sich mithilfe der
Riemannschen Zeta-Funktion beweisen. Anscheinend ist das ein rigoroserer
Beweis.
Auf demselbem Kanal gibt es (möglicherweise auch als Reaktion auf die
Kritik) mehrere Videos zu diesem Thema:
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