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num: 29428
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Thu, 29 Jan 2026 18:49:03 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
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Am 29.01.2026 um 18:18 schrieb Moebius:
> Am 29.01.2026 um 02:42 schrieb Moebius:
>> Am 28.01.2026 um 21:21 schrieb Moebius:
>>> Am 28.01.2026 um 03:37 schrieb Moebius:
>>>> Am 28.01.2026 um 00:38 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>>>> WM wrote:
>>>>>>
>>>>>> Im Brief an Lipschitz entfallen die Dubletten.
>>>>>> Aber eine Formel zur Berechnung der Indizes in diesem Falle hat
>>>>>> Cantor nicht.
>>>>>> Er fragt im Brief danach. Also ist da eine Supertask angezeigt.
>>>>>>
>>>> Schwachsinn.
>>>>
>>>> Es gibt verschiedene (rein) mengentheoretische Möglichkeiten, um die
>>>> _Existenz_ einer Bijektion von IN auf (erst mal nur) Q+ zu zeigen.
>>>> (Und mindestens eine war offenbar schon Cantor bekannt.)
>>>>
>>>> Man konnte z. B. den Satz heranziehen, dass eine unendliche
>>>> Teilmenge einer abzählbar unendlichen Menge ebenfalls abzählbar
>>>> unendlich ist.
>>>>
>>>> Eine andere Möglichkeit wäre, dazu den Satz von Cantor-Bernstein-
>>>> Schröder heranzuziehen:
>>>>
>>>> Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor-Bernstein-
>>>> Schr%C3%B6der
>>>>
>>>>> Wenn man die nachträglich entfernen muss, weil man Deine Formel
>>>>> verwendet, dann ist das wohl so.
>>>>>
>>>> Nein, das ist nicht so.
>>
>> Lass Dir doch bitte nicht von Mückenheim den Verstand vernebeln. Es
>> genügt, dass hier _ein_ Spinner (Crank) unterwegs ist.
>>
>> Also:
>>
>>> Beweis z. B. mit dem Dedekindschen Rekursionssatz.
>>>
>>> Um das mal im Detail zu zeigen, benötigen wir ein paar klar
>>> definierte "Begriffe":
>>>
>>> Ein /Bruch/ ist ein geordnetes Paar natürlicher Zahlen: (a, b) (mit
>>> a, b e IN). Aus historischen Gründen schreibt man dafür meist "a/b".
>>> Wir wollen das hier auch so machen.
>>>
>>> Eine /pos. rationale Zahl/ ist eine "Äquivalenzklasse" äquivalenter
>>> Brüche. (Was hier "äquivalent" bedeutet kann/muss
>>> man natürlich noch genau angeben. Es ist hier aber -im Moment- nicht
>>> wesentlich. Na gut: a/b ~ c/d <-> a*d = b*c.)
>>>
>>> So ist also z. B. {1/1, 2/2, 3/3, ...} eine pos. rationale Zahl.
>>>
>>> Jedes Element dieser Menge (also jeder Bruch in dieser Menge) ist ein
>>> "Repräsentant" dieser pos. rationale Zahl. Eben darum schreibt man
>>> oft so etwas wie: 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... (wobei hier die Symbole
>>> "1/1", "2/2", "3/3", ... die oben erwähnte Menge bezeichnen und nicht
>>> die Brüche (die ja verschieden wären).
>>>
>>> Um diesem Umstand (for the sake of the argument) gerecht zu werden,
>>> werden wir hier "a/b" mit a,b e IN _immer_ als _Bruch_ auffassen,
>>> also als (a, b) und NICHT als pos. rationale Zahl.
>>>
>>> [a/b] soll nun die pos. rationale Zahl bezeichnen, deren Element a/b
>>> ist.
>>>
>>> W i r schreiben also [1/1] = [2/2] = [3/3] = ... statt (wie üblich)
>>> 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... Und für uns sind /die Brüche 1/1, 2/2,
>>> 3/3, ... "paarweise verschieden"; also z.B. 1/1 =/= 2/2 (weil (1, 1)
>>> =/= (2, 2) ist).
>>>
>>> "Umgekehrt" wollen wir mit vgb(q) (wo e Q ist) den "vollständig
>>> gekürzten Bruch" verstehen, der in q ist). (Es gibt, wie man sich
>>> leicht überlegt, zu jeder pos. rationalen Zahl lediglich einen
>>> solchen Bruch. (Statt von dem "vollständig gekürzten Bruch" spricht
>>> man auch manchmal von der "kanonischen Darstellung" der pos.
>>> rationalen Zahl, um die es geht.)
>>>
>>> Aus diesen Definition erhalten wir also z. B.:
>>>
>>> vbg([1/1]) = 1/1
>>>
>>> vbg([1/2]) = 1/2
>>>
>>> usw.
>>>
>>> Aber eben z. B. auch
>>>
>>> vbg([2/2]) = 1/1.
>>>
>>> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>>
>> Cantor gibt nun eine bijektive Abbildung c von IN x IN auf IN an. Also
>> de facto eine Abbildung von der Menge der Brüche auf die Menge IN:
>>
>> c(n, m) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 (für alle m,m e IN)
>>
>> Da es zu jeder Bijektion f eine Umkehrfunktion f^-1 gibt, hat auch c
>> eine Umkehrfunktion, die wir d nennen wollen.
>>
>> d: IN --> IN x IN, d = c^-1.
>>
>> Diese Funktion d ist genau die FOLGE, die Mückenheim so gerne zitiert:
>>
>> d = (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1,
>> 1/5, ...)
>>
>> Mit anderen Worten eine bijektive Abbildung von IN auf die Menge der
>> Brüche. Damit ist gezeigt, dass die Menge der Brüche "abzählbar
>> unendlich" ist.
>>
>> Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/
>> Cantorsche_Paarungsfunktion#Umkehrfunktion
>>
>> Was uns jetzt noch fehlt, ist der _Beweis_, dass auch die Menge der
>> pos. rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.
>
> Dazu definieren wir erst einmal die Menge VGB der vollständig gekürzten
> Brüche wie folgt:
>
> VGB = {vgb(q) : q e Q} .
Alternative Definition:
VGB = {b e Im(d) : Ei e IN(b = d(i) & vollst.gekürtzt(d(i))} .
> Unser Problem ist, dass "die Abzählung" d nicht nur die Elemente in VBG
> als Terme enthält, sondern darüber hinaus auch Brüche wie 2/2, 2/6, usw.
>
> Um diese "los zu werden", eliminieren wir die Indizes, die solche Brüche
> "indizieren". Dazu definieren wir die Menge
>
> I = {i e IN : d(i) e VGB} .
>
> Diese enthält nur noch die Indizes der Terme der Folge d, die
> vollständig gekürzte Brüche sind:
>
> I = {1, 2, 3, 4, 6, ...}.
>
> Alles was uns jetzt noch fehlt, ist eine bijektive Abbildung von IN auf I.
>
> Diese verschaffen wir uns mit Hilfe des Dedekindschen Rekursionssatzes
> und den beiden Rekursionsgleichungen:
>
> | n(1) = min I
> | n(k+1) = min {i e I : i > n(k)} (k e IN)
>
> Damit haben wir (wie man leicht zeigen kann) eine bijektive Funktion von
> IN auf I definiert:
>
> n = (1, 2, 3, 4, 6, ...)
>
> Jetzt endlich können wir eine bijektive Abbildung von IN auf die Menge
> der pos. rationalen Zahlen angeben (definieren):
>
> d': IN --> Q+, d'(k) = [d(n(k))] (für alle k e IN) .
>
> Geschafft! Die Menge der pos. rationalen Zahlen ist also abzählbar
> unendlich.
>
> Auch wenn Mückenheim zu doof und zu blöde ist, um das zu verstehen: Wir
> beziehen uns in der Mathematik nicht auf Supertasks, um irgendwas zu
> beweisen. (Da Mückenheim von mathematischen Beweisen keine Ahnung hat,
> kann er das natürlich nicht wissen.)
>
> Lit.: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/rekursionssatz/8463
>
>> .
>> .
>> .
>
>
>
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