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num: 30291
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Marc Olschok
DATE : Sun, 19 Apr 2026 21:44:53 -0000 (UTC)
TEMA : Re: Isomorphie
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On Sat, 18 Apr 2026 18:48:10 Martin Vaeth wrote:
> Marc Olschok schrieb:
>> On Mon, 13 Apr 2026 07:04:11 Martin Vaeth wrote:
>>> Martin Vaeth schrieb:
>>>> (insbesondere als ((R^1,R), +, .), weil Du den Körper
>>>> spezifieren musst).
>>>
>>> Das ist nicht ganz richtig (den Fehler habe ich in einem anderen Posting
>>> auch gemacht).
>>>
>>> Es ist gar nicht so einfach, formal korrekt mit nur *einer* Menge als
>>> Definitionsbereich von Relationen auszurücken, was ein Vektorraum (X, K)
>>> (mit X als Menge der Vektoren und K als Menge der Körperelemente) ist:
>>>
>>> Sowohl Definitions- als auch Bildmenge muss die disjunkte Vereinigung
>>> von X und K enthalten (deswegen disjunkt, weil die Relationen, die
>>> die Körperoperationen, die Vektoraddition, und die
>>> Skalar-mit-Vektor-Operation unterscheiden können müssen, ob es sich
>>> bei Argument bzw. Bild um einen Vektor oder Skalar handelt).
>>> Wenn X und K nicht von vornherein disjunkt sind, muss man hier
>>> kanonische disjunkte Kopien der Elemente nehmen, was formal nicht
>>> ganz leicht zu schreiben ist.
>>
>> Vor allem wird es dann sehr unhandlich, wenn man Homomorphismen zwischen
>> solchen Strukturen beschreiben will. Für den ganz allgemeinen Fall ist
>> dann die Formulierung mit mehreren Sorten (hier zwei) übersichtlicher,
>> also etwas (R,M,...) und den Operationen und Axiomen mit denen R ein
>> Ring und M ein R-Modul wird.
>
> Ja, fände ich auch. Wird auf der Wikipedia-Seiten über Homomorphismen
> aber halt nicht so gemacht. Wenn man auch *nur* Homomorphismus definieren
> will (ohne ihn auf komplizierte Strukturen wie Vektorräume tatsächlich
> anzuwenden), ist das natürlich auch einfacher, und rein formal ist die
> Definition natürlich auch (von einem abstrakten Standpunkt aus)
> hinreichend, wenn auch nicht sehr praktikabel.
>
> Ich kann mir durchaus vorstellen, dass man mit der
> Wikipedia-Definition kurioserweise durchaus in einigen trivialen
> Fällen (etwa: Leere Mengen oder Mengen mit nur einem oder zwei
> Elementen) Isomorphismen zwischen Gebilden mit
> vollkommen verschiedener algebraischer Struktur erhält,
> weil die Abbildungen "zufällig" zusammenpassen. Ein Beispiel
> dafür mit den üblichen algebraischen Strukturen habe ich aber
> nicht gefunden. Vermutlich könnte man sich unnatürliche Beispiele
> dafür konstruieren.
Unwahrscheinlich. Bei einem solchem Isomorphismus könnte man jeweils
die Operationen von einer Struktur in die andere transportieren. Sie
müssten dann übereinstimmen. Nebenbei induziert sowieso jeder
Isomorphismus zwischen Objekten X und Y per Konjugation eine Isomorphie
zwischen den Automorphismengruppen Aut(X) und Aut(Y). Das macht die
meisten Versuche schon zunichte.
>
>> Wenn man aber sowieso nur einen festen Ring R und dazu alle R-Moduln
>> betrachten will, geht es noch einfacher: man nimmt alle Elemente von R
>> als einstellige Funktionen in die Signatur auf.
>
> Also eine i.a. unendliche Signatur (wenn der Ring unendlich ist)?
> Das erscheint mir nicht gerade übersichtlicher, und ich könnte mir
> auch vorstellen, dass so etwas die Beweisstärke verändert, d.h., dass
> in einer Darstellug Dinge beweisbar sind, die es in der anderen nicht
> sind.
Das macht keine Probleme. Auf der Ebene der beteiligten Mengen entspricht
die Skalarmultiplikation R x M --> M per Exponentialgesetz einer
Abbildung R --> [M,M] (zur besseren Lesbarkeit [M,M] statt M^M).
Die Modulaxiome bewirken, dass es sogar ein Ringhomomorphismus von
R nach End(M) ist, wobei End(M) der Endomorphismenring der abelschen
Gruppe M ist; aber das sieht man der Signatur natürlich noch nicht an.
Der wesentliche Vorteil ist, dass die Grundmenge einer entsprechenden
Struktur genau der betrachtete Modul ist. Ebenso ergibt sich die
Bedingung f(rm)=rf(m) für eine lineare Abbildung f automatisch aus der
Verträglichkeit mit allen Operationen.
v.G.
--
M.O.
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