Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29843<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid>
DATE  : Sun, 22 Mar 2026 22:13:18 -0000 (UTC)
TEMA  : Re: Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition
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On Thu, 19 Mar 2026 23:46:46 Stefan Ram wrote:
> Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid> schrieb oder zitierte:
>>Man kann übrigens den Begriff des Intervalls auch ohne den Rückgriff
>>auf "Endpunkte" definieren. Eine Teilmenge I ist ein Intervall, wenn
>>sie mit je zwei Punkten r,s in I immer auch alle Punkte enthält, die
>>zwischen r und s liegen. Das umfasst dann auch die Möglichkeit, dass
>>sup(I) oder inf(I) nicht existieren. Falls beide existieren, bilden
>>sie die Endpunkte des Intervalls und man erhält die verschiedenen von
>>Dir beschriebenen Fälle, je nachdem ob sie in I liegen oder nicht.
> 
>   Ja. Das scheint mir doch ein Spezialfall konvexer Mengen zu sein.

Das ist unter Ordnungskonvexität bekannt. 
Ein sehr allgemeiner Konvexitätsbegriff wird in diesem dicken Buch
behandelt:

M.L.J. van de Vel: Theory of convex structures, 1993
https://zbmath.org/0785.52001

Meine Bemerkung bezog sich aber in erster Linie auf den Fall, wenn die
Ordnung total ist (wie eben z.B. die Anordnung auf den reellen Zahlen).
Wenn die betrachtete Ordnung nicht mehr total ist, kann es Teilmengen
geben, die zwar die obige Konvexitätsbedingung erfüllen, aber nicht
durch Endpunkte beschreiben lassen. Aus diesm Grund bevorzugt man in
diesen Fällen doch wieder die Definition durch Endpunkte.

v.G.
-- 
M.O.
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