Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29563<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius <invalid@example.invalid>
DATE  : Sat, 27 Dec 2025 20:57:17 +0100
TEMA  : Re: Heute vor 25 Jahren
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Am 27.12.2025 um 19:32 schrieb Moebius:
> Am 26.12.2025 um 23:20 schrieb Moebius:
>> Am 24.12.2025 um 17:53 schrieb Stefan Ram:
>>>    Heute [2025-12-25] vor 25 Jahren [2000-12-25]:
>>>
>>> Willard Van Orman Quine stirbt.
>>>
>>>    Quine leistete mit seine Arbeiten zu Logik und Mengenlehre
>>>    Beiträge zu den Grundlagen der Mathematik. Mit seinen Axiomen
>>>    "new foundations" versuchte er, eine Mengenlehre aufzubauen,
>>>    die bekannte Paradoxien vermeidet.
>>
>> Aus meiner Sicht ist NF so nahe dran an einer "naiven Mengenlehre", 
>> wie es eine Mengenlehre, die die bekannten Paradoxien (offenbar) 
>> vermeidet, nur sein kann.
>>
>> Tatsächlich besteht sie aus genau 2 Axiomen (bzw. Axiomenschemata):
>>
>> Extensionality: AxAy(Az(z e x <-> z e y) -> x = y)
>>
>> Restricted Comprehension: ExAy(y e x <-> Phi[y]) ,
>>
>> wobei Phi[.] gewissen Bedingungen gehorchen muss. Es ist klar, dass 
>> hier nicht JEDE Formel zugelassen sein kann, weil z. B. "y !e y" 
>> sofort auf die Russellsche Antinomie führen würde, aber "y = y" ist z. 
>> B. zulässig (was bedeutet, dass es in NF eine "Allmenge" gibt).
> 
> Es hat schon was, eine Menge zu haben, die ALLE Mengen (also auch sich 
> selbst) als Elemente enthält.

Man kann dann auch das Komplement einer Menge M so definieren:

	M^c = V \ M ,

mit V = {x | x = x}.

Es gilt dann für jede Menge A:

	(M^c)^c = A .

> Lit.: T. E. Foster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an 
> Untyped Universe
> 
> Abstract: "Set theory is concerned with the foundation of mathematics. 
> In the original formulations of set theory, there were paradoxes 
> contained in the idea of the "set of all sets". Current standard theory 
> (Zermelo-Fraenkel) avoids these paradoxes by restricting the way sets 
> may be formed by other sets, specifically to disallow the possibility of 
> forming the set of all sets. In the 1930s, Quine proposed a different 
> form of set theory in which the set of all sets - the universal set - is 
> allowed, but other restrictions are placed on these axioms. Since then, 
> the steady interest expressed in these non-standard set theories has 
> been boosted by their relevance to computer science. The second edition 
> still concentrates largely on Quine's New Foundations, reflecting the 
> author's belief that this provides the richest and most mysterious of 
> the various systems dealing with set theories with a universal set."
> 
> Wen's interessiert: https://randall-holmes.github.io/Bibliography/ 
> setbiblio.html
> 
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