Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29435<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Stephan Herrmann <stephan.herrmann@mailbox.org>
DATE  : Thu, 29 Jan 2026 00:32:10 +0100
TEMA  : Re: Umformung einer Summe
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ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:

> Stephan Herrmann <stephan.herrmann@mailbox.org> schrieb oder zitierte:
>>>|However, let’s re-write this Taylor expansion in the compact form
>>>|f (x0+Δx) = Σn=0,∞: Δx^n/n! d^n f / dx^n |x=x0.              (2.2)
>>>|Further, because the derivative is a linear operator, we can write
>>>|f (x0+Δx) =( Σn=0,∞: Δx^n/n! d^n/dx^n ) f(x) |x=x0.          (2.3)
> . . .
>>Die Linearität des Differentialoperators wird bei der Umformung
>>benötigt. Betrachte mal nur die ersten drei Summanden und forme dann
>>um.
>
>   Es geht um die
>
>   Summe mit n von 0 bis unendlich von: (a^n/n!) (d^n f / dx^n).
>
>   Die ersten drei Summanden sind:
>
> f + a df/dx + (a^2/2) d^2f/dx.
>
>   Nun verwende ich die Definition des Ableitungsoperators (d/dx), 
>   nämlich (d/dx)f := df/dx:
>
>   Damit ist d^2f/dx = (d/dx)(df/dx) = (d/dx)(d/dx)f.
>
>   Die Anwendung der Definition von d/dx auf die Summe ergibt also:
>
> = (d/dx)^0 f + a (d/dx)^1 f + (a^2/2) (d/dx)^2 f.
>
>   Hierbei wurde von der Linearität von "d/dx" kein Gebrauch gemacht.
>
>   Nun verwende ich die punktweise Definition der Summe von Operatoren:
>   (O+P)(f) := O(f) + P(f).
>   Hierbei wurde Linearität von O oder P nicht vorausgesetzt.
>   Insbesonderer darf (O+P)(f) = O(f) + P(f) (punktweise Definition der
>   Summe) nicht mit O(f+g)=O(f)+O(g) (Linearität) verwechselt werden.
>
>   Mit der punktweisen Definition der Summe von Operatoren erhalte ich:
>
> = ( (d/dx)^0 + a (d/dx)^1 + (a^2/2) (d/dx)^2 )f
>
>   wieder ohne Verwendung der Linearität von "d/dx".
>
>
Ja du hast Recht, in diesen Schritten wird die Linearität nicht benötigt.

-- 
Stephan Herrmann
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