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num: 29563
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : wm
DATE : Sat, 21 Feb 2026 17:01:57 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
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Am 20.02.2026 um 21:17 schrieb joes:
> Am Fri, 20 Feb 2026 20:54:11 +0100 schrieb WM:
>> Am 20.02.2026 um 18:30 schrieb joes:
>>> Am Fri, 20 Feb 2026 18:22:58 +0100 schrieb wm:
>>>> Am 20.02.2026 um 08:49 schrieb joes:
>>>>> Am Thu, 19 Feb 2026 20:40:09 +0100 schrieb WM:
>>>>>> Am 19.02.2026 um 18:20 schrieb joes:
>
>>>>>>> Der Rest weicht auch ab: die anderen Brüche werden gar nicht
>>>>>>> abgebildet.
>>>>>> Bei Cantor auch nicht.
>>>>> Doch klar, zum Beispiel die 5 auf 2/2, was bei deiner dritten Matrix
>>>>> nicht der Fall ist.
>>>> Das geschieht in der fünften Matrix.
>>> Genau, die dritte Matrix wird von der Formel nicht beschrieben. Die
>>> fünfte übrigens auch nicht - tatsächlich gar keine.
>> Lerne lesen.
> Ich weiß nicht, was du willst. Du bist nicht auf meinen Einwand
> eingegangen, der für die gesamte Folge gilt. Wenn man Cantors Formel
> in eine Matrix einträgt, ergibt sich *keine einzige* deiner Matrizen.
>
Hier nochmal die Erklärung:
Wenn alle positiven Brüche m/n existieren, dann befinden sich alle in
der Matrix
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
... .
Wenn alle natürlichen Zahlen k existieren, dann können wir sie
verwenden, um damit die Ganzzahlbrüche m/1 in der ersten Spalte zu
indizieren. Bezeichnen wir indizierte Brüche mit X und nicht indizierte
mit O, so ergibt sich die Matrix
XOOO...
XOOO...
XOOO...
XOOO...
XOOO...
... .
Cantor behauptet, dass alle natürlichen Zahlen k existieren und
verwendet werden können, um alle positiven Brüche m/n zu indizieren. Das
erfolgt nach der Formel
k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m
und ergibt eine Folge von Brüchen
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, ... .
Diese Folge wird hier als eine Folge von Matrizen modelliert. Wir
verteilen die Indizes aus der ersten Spalte nach Cantors Vorschrift in
der Matrix, so dass die Brüche in der gegebenen Reihenfolge indiziert
werden.
Der Index 1 bleibt bei 1/1, dem ersten Term der Folge. Der nächste Term,
1/2, erhält den Index 2, der seiner Ausgangsposition 2/1 entnommen wird
XXOO...
OOOO...
XOOO...
XOOO...
XOOO...
... .
Dann wird der Index 3 von 3/1 für die Indizierung von 2/1 verwendet
XXOO...
XOOO...
OOOO...
XOOO...
XOOO...
... .
Dann wird der Index 4 von 4/1 für die Indizierung von 1/3 verwendet
XXXO...
XOOO...
OOOO...
OOOO...
XOOO...
... .
Dann wird der Index 5 von 5/1 für die Indizierung von 2/2 verwendet
XXXO...
XXOO...
OOOO...
OOOO...
OOOO...
... .
Und so weiter. Nach Abschluss der Indizierung, d.h. bei vollständiger
Abbildung von ℕ in die Brüche, wobei jeder Index seinen endgültigen
Platz bezogen hat
XXXX...
XXXX...
XXXX...
XXXX...
XXXX...
... ,
stellt sich heraus, dass in der Matrix nur noch indizierte Brüche X
erkennbar sind, aber kein Bruch ohne Index. Doch ist klar, dass durch
den Prozess des verlustlosen Austauschens von X und O kein O die Matrix
verlassen kann, solange nur natürliche Zahlen als Indizes verwendet
werden. Also sind nicht weniger Brüche ohne Index in der Matrix als am
Anfang.
Wir wissen, dass alle O und ebensoviele Brüche ohne Index in der Matrix
noch vorhanden sind, können aber keinen einzigen finden. Die einzig
mögliche Erklärung dafür ist, dass sie sich an dunklen Positionen befinden.
Aufgrund von Symmetrieüberlegungen können wir schließen, dass jede
Spalte einschließlich der Ganzzahlbrüche und daher auch die natürlichen
Zahlen selbst dunkle Elemente enthalten. Cantors Indizierung betrifft
nur die potentiell unendliche Kollektion aller sichtbaren Brüche, nicht
aber die aktual unendlichen Menge aller Brüche. Dies gilt ebenso für
jede andere Indizierungsmethode, ja sogar für die identische Abbildung.
Bijektionen, also vollständige Abbildungen, zwischen aktual unendlichen
Mengen und ℕ sind nicht möglich.
Gruß, WM
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