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num: 30284
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Ulrich D i e z
DATE : Fri, 17 Apr 2026 00:11:52 +0200
TEMA : Re: Dreiecke mal etwas anders
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Me schrieb:
> Hallo,
>
> dass 2 Dreiecksseiten zusammen jeweils länger sein müssen ist ja bekannt;
>
> a + b > c
> a + c > b
> b + c > a
>
> nun habe ich aber von einem Dreieck folgendes
>
> den Umfang u,
> den Flächeninhalt A,
> und den Radius vom Umkreis R
>
> damit kann man z.B. folgendes Gleichungssystem ansetzen
>
> I: a + b + c = u
> II: sqrt( s (s - a)(s - b)(s - c) ) = A mit 2s = u
> III: abc / R = 4A
>
> mit den 3 gegebenen Werten A, R und u
> sind die Dreiecksseiten nur insofern bestimmt als es zyklische Lösungen gibt
>
> durch Umformungen bekommt man nun Werte für
>
> a + b + c = 2s = u
> ab + ac + bc = 4AR/s^3 + A^2/s^4 + s^2
> abc = 4AR
>
> damit kann man doch in eine kubische Gleichung gehen
>
> t^3 - 2s t^2 + (4AR/s^3 + A^2/s^4 + s^2) t - 4AR = 0
Du meinst, wenn du a, b und c hast, dann damit eine nach t aufzulösende
Gleichung
(t - a) · (t - b) · (t - c) = 0; a > 0; b > 0; c > 0,
basteln, die wahr ist, wenn mindestens ein Faktor des Produktes 0
ergibt, sodas die Lösungsmenge, die die Werte für t angibt, für die
diese Gleichung eine wahre Aussage darstellt, nur die Seitenlängen a, b
und c enthält?
Da komme ich aber auf etwas anderes als du:
t³ - 2st² + (4AR/s + A²/s² + s²)t - 4AR = 0
Statt 4AR/s³ muss es 4AR/s heißen.
Statt A²/s⁴ muss es A²/s² heißen.
(t - a) · (t - b) · (t - c) = 0; a > 0; b > 0; c > 0
⇔
t³ - (a + b + c)·t² + (ab + bc + ac)·t - abc = 0; a > 0; b > 0; c > 0.
Ich ackere mal Dein Gleichungssystem durch:
I: a + b + c = u
II: sqrt( s (s - a)(s - b)(s - c) ) = A mit 2s = u
III: abc / R = 4A
bedeutet:
[ a + b + c = u ] ∧
[ [ sqrt( s · (s - a) · (s - b) · (s - c) ) = A ] ∧ [ 2s = u ] ] ∧
[ abc / R = 4A]
⇔
[ a + b + c = u ] ∧
[ sqrt( s · (s - a) · (s - b) · (s - c) ) = A ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc / R = 4A]
⇔
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ sqrt( s · (s - a) · (s - b) · (s - c) ) = A ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc / R = 4A ]
⇔
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ sqrt( s · (s - a) · (s - b) · (s - c) ) = A ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
⇒ (nicht "⇔", denn Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung !!!)
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ s · (s - a) · (s - b) · (s - c) = A² ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
⇔
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ s · (s - a) · (s² - cs - bs + bc) = A² ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
⇔
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ s · (s³ - cs² - bs² + bcs - as² + acs + abs - abc) = A² ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
⇔
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ s · (s³ - (a + b + c)·s² + (ab + bc + ac)·s - abc) = A² ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
⇔
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ s · (s³ - (2s)·s² + (ab + bc + ac)·s - 4AR) = A² ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
⇔
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ s · (-s³ + (ab + bc + ac)·s - 4AR) = A² ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
⇔
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ -s⁴ + (ab + bc + ac)·s² - 4ARs = A² ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
⇔
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ (ab + bc + ac)·s² = 4ARs + A² + s⁴ ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
⇒ (nicht "⇔", denn [ s ≠ 0 ] ist eine zusätzliche Annahme/Bedingung!!!)
[ s ≠ 0 ]
[ a + b + c = 2s ] ∧
[ ab + bc + ac = 4AR/s + A²/s² + s² ] ∧
[ 2s = u ] ∧
[ abc = 4AR ]
Beim Umformen habe ich zum einen die Heron-Formel quadriert und zum
anderen im letzten Schritt angenommen, dass ein Fall vorliege, bei dem
u ≠ 0 sei. Beides sind keine Äquivalenzumformungen!
Wenn ich die Teilbedingungen [ a + b + c = 2s ] und
[ ab + bc + ac = 4AR/s + A²/s² + s² ] und [ abc = 4AR ], die aus deinem
ursprünglichen Gleichungssystem folgen, die Teilbedingung
[ ab + bc + ac = 4AR/s + A²/s² + s² ] allerdings nur unter der
Zusatzannahme, dass s ≠ 0, in die Gleichung
(t - a) · (t - b) · (t - c) = 0; a > 0; b > 0; c > 0
⇔
t³ - (a + b + c)·t² + (ab + bc + ac)·t - abc = 0; a > 0; b > 0; c > 0
einsetze, dann erhalte ich:
t³ - 2st² + (4AR/s + A²/s² + s²)t - 4AR = 0.
Hierbei ist aber nicht gesagt, dass
t³ - 2st² + (4AR/s³ + A²/s² + s^²)t - 4AR = 0
äquivalent sei zu
t³ - (a+b+c)·t² + (ab+bc+ca)·t - abc = 0; a > 0; b > 0; c > 0
, sondern nur, dass
t³ - 2st² + (4AR/s³ + A²/s² + s^²)t - 4AR = 0
unter der Zusatzannahme, dass s ≠ 0, aus
t³ - (a + b + c)·t² + (ab + bc + ac)·t - abc = 0; a > 0; b > 0; c > 0
folgt.
Mit a > 0; b > 0; c > 0 und a + b + c = 2s ist diese Zusatzannahme
gegeben, was bedeutet, dass in diesem Fall
t³ - 2st² + (4AR/s³ + A²/s² + s^²)t - 4AR = 0
aus
t³ - (a + b + c)·t² + (ab + bc + ac)·t - abc = 0; a > 0; b > 0; c > 0
folgt, womit aber nicht gesagt ist, dass die Gleichungen äquivalent seien.
> die Gretchenfrage:
> gilt hier, dass diese kubische Gleichung nur 1 Lsg. in IR hat, genau
> dann wenn, die Werte f. A, R und u kein Dreieck ergeben?
Geht es dir um die Mächtigkeit der Menge der in ℝ liegenden Lösungen der
Gleichung? Geht es dir um reelle (evtl. mehrfache) Nullstellen des Polynoms?
Ich nehme an, da die in Abhängigkeit von t und dem halbem Dreiecksumfang
und der Dreiecksfläche und dem Dreiecksumkreisradius gegebene kubische
Gleichung zur in Abhängigkeit von t und den Seitenlängen a, b und c
gegebenen kubischen Gleichung nicht äquivalent ist, sondern nur aus ihr
folgt, ist in diesem Zusammenhang vielleicht auch die Frage interessant,
ob es Fälle gibt, in denen die in Abhängigkeit von t und dem halbem
Dreiecksumfang und der Dreiecksfläche und dem Dreiecksumkreisradius
gegebene kubische Gleichung wahr ist, während
die kubische Gleichung in Abhängigkeit von t und den Seitenlängen a, b
und c, aus der sie für in ℝ⁺ liegende Werte von a, b und c folgt,
- falsch ist.
- wahr ist, aber durch in ℝ liegende Werte für a, b oder c erfüllt
wird, die in der Kombination oder für sich genommen nicht Werte
von Seitenlängen von Dreiecken sein können.
Sofern es dir um die Mächtigkeit der Menge der in ℝ liegenden Lösungen
der Gleichung geht:
Wenn man ein Dreieck mit durch die Bezeichner a, b, c identifizierten
Seiten hat, sodass in der kubische Gleichung in Abhängigkeit von t und
den Seitenlängen a, b und c die Werte für a, b und c vorgegeben sind und
damit in der aus ihr folgenden kubische Gleichung in Abhängigkeit von t
und halbem Dreiecksumfang und Dreiecksfläche und Dreiecksumkreisradius
die Werte für den halben Dreiecksumfang und die Dreiecksfläche und den
Dreiecksumkreisradius vorgegeben sind, und hierbei
- das Dreieck nicht gleichschenklig ist, sodass es drei verschiedene
Werte für dessen Seitenlängen gibt, dann gibt es nur drei in ℝ
liegende Werte für t, mit denen die kubische Gleichung in
Abhängigkeit von t und den Seitenlängen a, b und c eine wahre Aussage
darstellt und mindestens drei in ℝ liegende Werte für t, mit denen die
kubische Gleichung in Abhängigkeit von t und dem halbem Dreiecksumfang
und der Dreiecksfläche und dem Dreiecksumkreisradius eine wahre
Aussage darstellt.
- das Dreieck gleichschenklig aber nicht gleichseitig ist, dann gibt es
nur zwei in ℝ liegende Werte für t, mit denen die kubische Gleichung
in Abhängigkeit von t und den Seitenlängen a, b und c eine wahre
Aussage darstellt und mindestens zwei in ℝ liegende Werte für t, mit
denen die kubische Gleichung in Abhängigkeit von t und dem halbem
Dreiecksumfang und der Dreiecksfläche und dem Dreiecksumkreisradius
eine wahre Aussage darstellt.
- das Dreieck gleichseitig ist, dann gibt es nur einen in ℝ liegenden
Wert für t, mit dem die kubische Gleichung in Abhängigkeit von t
und den Seitenlängen a, b und c eine wahre Aussage darstellt und
mindestens einen in ℝ liegenden Wert für t, mit dem die kubische
Gleichung in Abhängigkeit von t und dem halbem Dreiecksumfang und der
Dreiecksfläche und dem Dreiecksumkreisradius eine wahre Aussage
darstellt.
Wenn es hier Unterfälle gibt, bei denen die kubische Gleichung in
Abhängigkeit von t und dem halbem Dreiecksumfang und der
Dreiecksfläche und dem Dreiecksumkreisradius für nur einen in ℝ
liegenden Wert für t eine wahre Aussage darstellt, dann ist die
Annahme, dass "diese kubische Gleichung nur 1 Lsg. in IR hat, genau
dann wenn, die Werte f. A, R und u kein Dreieck ergeben", nicht
haltbar.
Im Moment habe ich aber zu große Schmerzen, um hier weiterdenken zu
können.
Mit freundlichem Gruß
Ulrich
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