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num: 29407
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Thu, 29 Jan 2026 19:25:10 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
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Am 29.01.2026 um 19:02 schrieb Moebius:
> Am 29.01.2026 um 18:49 schrieb Moebius:
>> Am 29.01.2026 um 18:18 schrieb Moebius:
>>> Am 29.01.2026 um 02:42 schrieb Moebius:
>>>> Am 28.01.2026 um 21:21 schrieb Moebius:
>>>>> Am 28.01.2026 um 03:37 schrieb Moebius:
>>>>>> Am 28.01.2026 um 00:38 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>>>>>> WM wrote:
>>>>>>>>
>>>>>>>> Im Brief an Lipschitz entfallen die Dubletten.
>>>>>>>> Aber eine Formel zur Berechnung der Indizes in diesem Falle hat
>>>>>>>> Cantor nicht.
>>>>>>>> Er fragt im Brief danach. Also ist da eine Supertask angezeigt.
>>>>>>>>
>>>>>> Schwachsinn.
>>>>>>
>>>>>> Es gibt verschiedene (rein) mengentheoretische Möglichkeiten, um
>>>>>> die _Existenz_ einer Bijektion von IN auf (erst mal nur) Q+ zu
>>>>>> zeigen. (Und mindestens eine war offenbar schon Cantor bekannt.)
>>>>>>
>>>>>> Man konnte z. B. den Satz heranziehen, dass eine unendliche
>>>>>> Teilmenge einer abzählbar unendlichen Menge ebenfalls abzählbar
>>>>>> unendlich ist.
>>>>>>
>>>>>> Eine andere Möglichkeit wäre, dazu den Satz von Cantor-Bernstein-
>>>>>> Schröder heranzuziehen:
>>>>>>
>>>>>> Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor-Bernstein-
>>>>>> Schr%C3%B6der
>>>>>>
>>>>>>> Wenn man die nachträglich entfernen muss, weil man Deine Formel
>>>>>>> verwendet, dann ist das wohl so.
>>>>>>>
>>>>>> Nein, das ist nicht so.
>>>>
>>>> Lass Dir doch bitte nicht von Mückenheim den Verstand vernebeln. Es
>>>> genügt, dass hier _ein_ Spinner (Crank) unterwegs ist.
>>>>
>>>> Also:
>>>>
>>>>> Beweis z. B. mit dem Dedekindschen Rekursionssatz.
>>>>>
>>>>> Um das mal im Detail zu zeigen, benötigen wir ein paar klar
>>>>> definierte "Begriffe":
>>>>>
>>>>> Ein /Bruch/ ist ein geordnetes Paar natürlicher Zahlen: (a, b) (mit
>>>>> a, b e IN). Aus historischen Gründen schreibt man dafür meist "a/
>>>>> b". Wir wollen das hier auch so machen.
>>>>>
>>>>> Eine /pos. rationale Zahl/ ist eine "Äquivalenzklasse" äquivalenter
>>>>> Brüche. (Was hier "äquivalent" bedeutet kann/muss
>>>>> man natürlich noch genau angeben. Es ist hier aber -im Moment-
>>>>> nicht wesentlich. Na gut: a/b ~ c/d <-> a*d = b*c.)
>>>>>
>>>>> So ist also z. B. {1/1, 2/2, 3/3, ...} eine pos. rationale Zahl.
>>>>>
>>>>> Jedes Element dieser Menge (also jeder Bruch in dieser Menge) ist
>>>>> ein "Repräsentant" dieser pos. rationale Zahl. Eben darum schreibt
>>>>> man oft so etwas wie: 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... (wobei hier die Symbole
>>>>> "1/1", "2/2", "3/3", ... die oben erwähnte Menge bezeichnen und
>>>>> nicht die Brüche (die ja verschieden wären).
>>>>>
>>>>> Um diesem Umstand (for the sake of the argument) gerecht zu werden,
>>>>> werden wir hier "a/b" mit a,b e IN _immer_ als _Bruch_ auffassen,
>>>>> also als (a, b) und NICHT als pos. rationale Zahl.
>>>>>
>>>>> [a/b] soll nun die pos. rationale Zahl bezeichnen, deren Element a/
>>>>> b ist.
>>>>>
>>>>> W i r schreiben also [1/1] = [2/2] = [3/3] = ... statt (wie üblich)
>>>>> 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... Und für uns sind /die Brüche 1/1, 2/2,
>>>>> 3/3, ... "paarweise verschieden"; also z.B. 1/1 =/= 2/2 (weil (1,
>>>>> 1) =/= (2, 2) ist).
>>>>>
>>>>> "Umgekehrt" wollen wir mit vgb(q) (wo e Q ist) den "vollständig
>>>>> gekürzten Bruch" verstehen, der in q ist). (Es gibt, wie man sich
>>>>> leicht überlegt, zu jeder pos. rationalen Zahl lediglich einen
>>>>> solchen Bruch. (Statt von dem "vollständig gekürzten Bruch" spricht
>>>>> man auch manchmal von der "kanonischen Darstellung" der pos.
>>>>> rationalen Zahl, um die es geht.)
>>>>>
>>>>> Aus diesen Definition erhalten wir also z. B.:
>>>>>
>>>>> vbg([1/1]) = 1/1
>>>>>
>>>>> vbg([1/2]) = 1/2
>>>>>
>>>>> usw.
>>>>>
>>>>> Aber eben z. B. auch
>>>>>
>>>>> vbg([2/2]) = 1/1.
>>>>>
>>>>> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>>>>
>>>> Cantor gibt nun eine bijektive Abbildung c von IN x IN auf IN an.
>>>> Also de facto eine Abbildung von der Menge der Brüche auf die Menge IN:
>>>>
>>>> c(n, m) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 (für alle m,m e
>>>> IN)
>>>>
>>>> Da es zu jeder Bijektion f eine Umkehrfunktion f^-1 gibt, hat auch c
>>>> eine Umkehrfunktion, die wir d nennen wollen.
>>>>
>>>> d: IN --> IN x IN, d = c^-1.
>>>>
>>>> Diese Funktion d ist genau die FOLGE, die Mückenheim so gerne zitiert:
>>>>
>>>> d = (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1,
>>>> 1/5, ...)
>>>>
>>>> Mit anderen Worten eine bijektive Abbildung von IN auf die Menge der
>>>> Brüche. Damit ist gezeigt, dass die Menge der Brüche "abzählbar
>>>> unendlich" ist.
>>>>
>>>> Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/
>>>> Cantorsche_Paarungsfunktion#Umkehrfunktion
>>>>
>>>> Was uns jetzt noch fehlt, ist der _Beweis_, dass auch die Menge der
>>>> pos. rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.
>>>
>>> Dazu definieren wir erst einmal die Menge VGB der vollständig
>>> gekürzten Brüche wie folgt:
>>>
>>> VGB = {vgb(q) : q e Q} .
>>
>> Alternative Definition:
>>
>> VGB = {b e Im(d) : Ei e IN(b = d(i) & vollst.gekürtzt(d(i))} .
>>
>>> Unser Problem ist, dass "die Abzählung" d nicht nur die Elemente in
>>> VBG als Terme enthält, sondern darüber hinaus auch Brüche wie 2/2,
>>> 2/6, usw.
>>>
>>> Um diese "los zu werden", eliminieren wir die Indizes, die solche
>>> Brüche "indizieren". Dazu definieren wir die Menge
>>>
>>> I = {i e IN : d(i) e VGB} .
>>>
>>> Diese enthält nur noch die Indizes der Terme der Folge d, die
>>> vollständig gekürzte Brüche sind:
>>>
>>> I = {1, 2, 3, 4, 6, ...}.
>>>
>>> Alles was uns jetzt noch fehlt, ist eine bijektive Abbildung von IN
>>> auf I.
>>>
>>> Diese verschaffen wir uns mit Hilfe des Dedekindschen
>>> Rekursionssatzes und den beiden Rekursionsgleichungen:
>>>
>>> | n(1) = min I
>>> | n(k+1) = min {i e I : i > n(k)} (k e IN)
>>>
>>> Damit haben wir (wie man leicht zeigen kann) eine bijektive Funktion
>>> von IN auf I definiert:
>>>
>>> n = (1, 2, 3, 4, 6, ...)
>>>
>>> Jetzt endlich können wir eine bijektive Abbildung von IN auf die
>>> Menge der pos. rationalen Zahlen angeben (definieren):
>>>
>>> d': IN --> Q+, d'(k) = [d(n(k))] (für alle k e IN) .
>>>
>>> Geschafft! Die Menge der pos. rationalen Zahlen ist also abzählbar
>>> unendlich.
>>>
> Es gibt auch einfachere Möglichkeiten. So kann man dazu z. B.auch den
> Satz von Cantor-Bernstein-Schröder heranzuziehen.
Dazu definieren wir 2 Funktionen f, g wie folgt:
f: Q+ --> {n/m : n, m e IN} (Menge der Brüche)
q |-> vgb(q)
und
g: {n/m : n, m e IN} --> Q+
n/m |-> [2^n/3^m]
Man kann nun leicht zeigen, dass f und g injektiv sind. Nach dem Satz
von Cantor-Bernstein-Schröder folgt daraus, dass Q+ und {n/m : n, m e
IN} äquivalent (gleichmächtig) sind. Mit anderen Worten, Q+ ist
abzählbar unendlich, weil {n/m : n,m e IN} (die Menge der Brüche)
abzählbar unendlich ist.
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor-Bernstein-Schr%C3%B6der
>>> Auch wenn Mückenheim zu doof und zu blöde ist, um das zu verstehen:
>>> Wir beziehen uns in der Mathematik nicht auf Supertasks, um irgendwas
>>> zu beweisen. (Da Mückenheim von mathematischen Beweisen keine Ahnung
>>> hat, kann er das natürlich nicht wissen.)
>>>
>>> Lit.: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/rekursionssatz/8463
>>>
>>>> .
>>>> .
>>>> .
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