Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29895<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de>
DATE  : Wed, 25 Mar 2026 17:08:02 +0100
TEMA  : =?UTF-8?Q?Implikation_und_=C3=84quivalenz_=28was=3A_Intervall_um_ei?= =?UTF-8?Q?nen_Punkt_verschieben=3F_//_TH27_Geometrie=29?=
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Ulrich D i e z wrote:
       ^^^^^^^
Durch Vermeidung solcher Spielchen vergrösserst Du Deine Leserschaft, weil
Du dann nicht mehr in Realname-Filtern landest.

> Ich schrieb:
  ^^^
Die Einleitungszeile soll möglichst *eindeutig* (und auch *nachträglich*,
wenn das zitierte Posting längst vom Server gelöscht wurde) bezeichnen,
wer den zitierten Text geschrieben hat.  Hiermit korrigiert:

> [Ulrich Diez wrote: ]
>> Ersteres, also die Aussageform
>> "x < x + (x - y)/2 < y; x < y; (x,y) ∈ ℚ²"
>> , ergibt für jeden Fall eine Falschaussage:
>>
>>   [ (x,y) ∈ ℚ² ] ∧  [ x < y ]  ∧  [ x < x + (x - y)/2 < y ]
> 
> Ab hier ...
> 
>> ⇒ [ (x,y) ∈ ℚ² ] ∧  [ x < y ]  ∧  [ x < x + (x - y)/2 ]
>>   ⇔ [ (x,y) ∈ ℚ² ] ∧  [ x < y ]  ∧  [ x < (3/2)x - (1/2)y ]
>>   ⇔ [ (x,y) ∈ ℚ² ] ∧  [ x < y ]  ∧  [ 0 < (1/2)x - (1/2)y ]
>>   ⇔ [ (x,y) ∈ ℚ² ] ∧  [ x < y ]  ∧  [ 0 < x - y ]
>>   ⇔ [ (x,y) ∈ ℚ² ] ∧  [ x < y ]  ∧  [ y < x ]
>>   ⇔ [ (x,y) ∈ ℚ² ] ∧  [ x < y ]  ∧  [ x > y ]
> 
> ... bis hier habe ich Äquivalenzumformungen durchgeführt.

Ja, aber ich bin weder sicher, dass die Notation, noch dass die intendierte
Aussage so richtig ist.

>>   ⇒  ⊥ . □
> 
> Und hier habe ich auf eine Falschaussage geschlossen.

Ja, diese Notation ist *sicher* falsch, denn "⊥" ist keine Aussage.
Insbesondere stellt "⊥" einen Wahrheits*wert* dar, _nicht_ das Symbol
für eine falsche Aussage.

> Wie gestaltet eigentlich ein guter Mathematiker den Übergang von
> Äquivalenzumformungen auf den Schluss auf Wahrheitswerte?

Das weiss ich nicht (habe Mathematik studiert, aber bin kein Mathematiker),
aber da z. B. "⊥" ("falsch") einen (Wahrheits-)Wert darstellt, würde ich zum
Abschluss einfach

  [(x, y) ∈ ℚ²] ∧ (x < y) ∧ (x > y) = ⊥.

schreiben.

    [Ob man "[x < y]" oder "(x < y)" schreibt, ist Geschmackssache; da
     "[...]" aber bereits viele andere Bedeutungen hat, bevorzugte ich hier
     "(...)".  Nur bei "[(x, y) ∈ ℚ²]" sind die eckigen Klammern sicher
     sinnvoll (würde ich auch so machen), weil "(x, y)" klar für ein Tupel
     steht, "[x, y]" jedoch primär als Intervall interpretiert werden würde
     (und "{...}" als Menge); obgleich das nachfolgende "∈ ℚ²" anzeigt, das
     "[x, y]" als Intervall höchstens mit einer zusätzlichen Definition für
     "∈" Sinn ergäbe.

     Die (äusseren) Klammern werden ohnehin nur der Lesbarkeit wegen
     benötigt, da "∈", "<" und ">" Präzedenz vor "∧" haben (müssen).]

<https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrheitswert>

Die logische Äquivalenz '⇔' (doppelter Pfeil nach links und rechts, U+21D4)
ist ausserdem "[abzugrenzen vom] Bikonditional" '↔' (einfacher Pfeil nach
links und rechts, U+2194):

<https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#Schreib-_und_Sprechweisen>

Unter diesem Aspekt solltest Du Deinen Beweis noch einmal überprüfen.
-- 
PointedEars

Twitter: @PointedEars2
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