Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29355<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Martin Vaeth <martin@mvath.de>
DATE  : 12 Jan 2026 21:03:33 GMT
TEMA  : Definition der Ramanujan-Summierbarkeit (was: Summationsmethoden =?UTF-8?Q?f=C3=BCr?= divergente Reihen)
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Wie in anderen Postings bereits angekündigt, sind hier einige
Bemerkungen zur Definition der Ramanujan-Summierbarkeit.

(Da ich derzeit keine Zeit habe, eine Bibliothek zu besuchen, benutze
ich hier ausschließlich auf Online-Quellen.)

Vorher in diesem Thread hatten wir diese Definition von ChatGPT
kennengelernt:

Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> schrieb:
>
> Fragen an ChatGPT. (To be checked carefully, of course.)
> [...]
>
> Let ((a_n)*{n\ge1}) be a sequence, and define partial sums
>
> [
> S(N)=\sum*{n=1}^N a_n.
> ]
>
> ### Definition (Ramanujan summability)
>
> The series (\sum_{n=1}^\infty a_n) is **Ramanujan summable**
> if there exists an asymptotic expansion
>
> [
> S(N)=F(N)+C+o(1)\qquad (N\to\infty),
> ]
>
> where:
>
> * (F(N)) belongs to a fixed class (\mathcal{D}) of *divergent terms*
> (finite linear combinations of powers of (N) and powers of (\log N)),
> and
>
> * (C\in\mathbb{R}) is a constant.
>
> The **Ramanujan sum** is defined to be
>
> [
> \sum_{n=1}^\infty a_n ;\overset{R}{=}; C.
> ]

Ich habe jetzt spaßeshalber mal Gemini gefragt:
Wenn ich nur nach der Definition der Ramanujan-Summierbarkeit fragte,
hat es mir nur eine Zusammenfassung der (Nicht-Definition) aus dem
Wikipedia-Artikels angezeigt.

Aber auf die zweimalige Aufforderung, die Eindeutigkeit der
Ramanujan-Summierbarkeit zu zeigen, hat Gemini gleich zwei alternative
Definitionen ausgespuckt. (Da ich bzgl. des Copyrights unsicher bin,
gebe ich hier nichts wörtlich wieder.)

Genauer hat Gemini zunächst bemerkt, dass es wohlbekannt sei, dass
die Ramanujan-Summe keineswegs eindeutig ist, sondern sie es erst
durch Zusatzforderungen an f in der Definition der
Ramanujan-Summierbarkeit wird.

Dabei sind besonders zwei alternative Forderungen üblich, die -
wenn ich es richtig verstanden habe - wohl zwei verschiedene
Definitionen der Ramanujan-Summierbarkeit darstellen.

(In den Details waren die Antworten von Gemini etwas konfus, da
beispielsweise f offensichtlich zuweilen verschiedene Dinge zu
bezeichnen schieb ich fasse nur meine halb-geratene Interpretation
zusammen):

1. Die Summe hat die Form \sum f(n) mit einer Funktion f, die eine
   analytische Fortsetzung auf die rechte Halbebene hat und dort das
   Wachstum |f(z)| <= C exp(c|z|) mit einer Konstanten c < 2\pi hat.
   (Solche f nennt man vom Typ c < 2\pi, und wenn es ein solches f
   gibt, so ist es nach einem Satz von Carlsson auf der rechten
   Halbebene durch die Werte auf den (großen?) natürlichen Zahlen
   bereits eindeutig.)
2. Man betrachtet die Boreltransformierte Bf der Summe \sum f(n),
   also die formale Potenzreihe \sum f(n)w^n. Für die Eindeutigkeit
   fordert man, dass diese Boreltransformierte in einen Streifen um
   die reelle Achse analytisch fortsetzbar ist und das Borel-Integral
   \int_0^\infty exp(-t) Bf(t) dt konvergiert.

Wenn ich es richtig verstanden habe, *ist* im zweiten Fall das
Borel-Integral die Ramanujan-Summe. Und im ersten Fall benötigt man
noch ein R (anscheinend ebenfalls vom Typ c < 2\pi?), das die
Differenzengleichung R(x + 1) - R(x) = f(x) erfüllt und dann
ebenfalls eindeutig ist, und R(1) ist dann die Ramanujan-Summe.

Gemini erwähnte noch, dass man die Eindeutigkeit auch durch
Forderungen an die Mellin-Transformation erhalten kann, was Ramanujans
urpsprüngliche Definition wäre, wobei Ramanjuan aber nichts
präzise formuliert habe (meine Anmerkung: nicht überraschend, wenn
man sich mal Ramanjuan's Notebooks anschaut...)

Leider hat Gemini keinerlei Quellen angegeben, so dass ich nicht
überprüfen kann, ob die halb-geratene Interpretation oben die
richtige ist.

Mir scheint, dass diese drei Definitionen (wenn ich die von ChatGPT
als die 0-te nehme) keineswegs äquivalent sind.
So wäre meinem Verständnis nach etwa die Reihe
\sum exp(\pi n) (d.h. f(z) = exp(\pi z) ist vom Typ \pi)
summierbar nach Definition 1, offensichtlich aber nicht nach
Definition 0. Bzgl. Definition 2 bin ich in diesem Beispiel
nicht sicher, aber mir scheint, so starkes Wachstum von f ist
dort auch nicht zulässig.

Ehrlich gesagt ist mir inzischen vollkommen schleierhaft, wie die
Definition von ChatGPT (Definition 0) überhaupt in des Bild passt,
denn im Gegensatz zu Definition 1 sehe ich keinerlei
Zusammenhang mit der Euler-McLaurin-Formel aus dem Wikipedia-Artikel,
die wohl irgendwie auch Ramanujans Ausgangspunkt war. Definition 2
ist mir ebenfalls ziemlich unklar, aber das liegt vielleicht nur daran,
dass ich zu wenig über die Boreltransformation weiß.
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