Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29589<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Martin Vaeth <martin@mvath.de>
DATE  : 24 Dec 2025 21:54:20 GMT
TEMA  : Re: Summationsmethoden =?UTF-8?Q?f=C3=BCr?= divergente Reihen
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Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> schrieb:
> Am 24.12.2025 um 20:29 schrieb Martin Vaeth:
>> (Aber andererseits hat man in der Wahl von f - jetzt in der Notation von
>> der Wikipedia-Seite - anscheinend eine sehr freie Wahl.)
>
> - man hat "immer" nur eine Wahl

Nein. Wenn man an einer Reihe \sum a_n interessiert ist, kann man
(bei Ramanujan) zunächst irgendein (holomorphes) f wählen, das
f(n) = a_n erfüllt. Zumindest diese Forderung ist wenig einschränkend,
da man zu f jede holomorphe Funktion g mit g(n) = 0 für alle n addieren
kann, und davon gibt es nach Weierstrass viele.

Noch viel mehr bei der „analytische Summation”, wo man zunächst sogar
ganze Familien f_n holomorpher Funktionen mit f_n(w) = a_n wählen
kann. Diese große Wahlfreiheit ist es, die mich vermuten lässt, dass
man mit der „analytischen Summation” jeden beliebigen Wert erhalten kann.
Umso erstaunlicher ist, dass ich nicht ein einziges (nichttriviales)
Beispiel finden konnte, für das man einen anderen Wert erhält:
Alle Beispiele, die ich dafür fand, basieren letztlich nur auf der
Nichteindeutigkeit der analytischen Fortsetzung und nicht auf der
Freiheit bei der Wahl der f_n.

> - -1/12 ist kein Ergebnis einer Addition

Korrekt. Die Zahl kommt vom Wert der Zeta-Funktion an der Stelle -1.
Im Falle der “analytischen Summation” ist das naheligend; wie man im
Falle der Ramanujan-Summation auf die Zeta-Funktion kommt, habe ich
nicht verstanden, denn m.E. benutzt man dort für \sum n die Wahl
f(z) = z.

> (in der Mengenlehre rechnet man nicht, sondern man
> relatieviert -> stellt Relationen/Vergleiche auf)

Das ist falsch bzw. Unsinn. Und mit Mengenlehre im engeren Sinn hat
ohnehin keine der beiden Summationsmethoden etwas zu tun.

> - mathematisch ergibt dies keinen Sinn

Doch. Das ist ja gerade der Witz an der Definition von
Summationsmethoden für divergente Reihen.

> - die Summanden wachsen daher "nicht" begrenzt

Dass die Summanden von \sum n unbeschränkt sind, ist trivial.
Deswegen kann man der Summe höchstens vermöge einer speziellen
Summationsmethode einen Sinn geben.
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