Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 30163<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de>
DATE  : Fri, 10 Apr 2026 19:53:48 -0000 (UTC)
TEMA  : Re: Euklidische Metrik
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Carlos Naplos  schrieb
 
> Die reellen Zahlen bilden mit üblicher Addition und Multiplikation 
> eine Gruppe, einen Körper, einen Vektorraum. 
> (Hierbei spielen Addition und Multiplikation jeweils mehrere Rollen.) 
> 
> Das - Gruppe, Körper, Vektorraum - sind jedoch unterschiedliche
> Strukturen. 

So ist es. Insbesondere gibt es keinen Vektorraum V an sich. 
Die Struktur "Vektorraum" beinhaltet immer Bezug auf einen 
Körper K, und V ist dann "ein Vektorraum über K" oder 
"K-Vektorraum". 

In vielen Anwendungen ist K = R, der Körper der reellen Zahlen, 
oder K = C, der Körper der komplexen Zahlen, und man benennt das 
nicht extra, "wenn es klar ist". 

Bei Aussagen über Isomorphie und dergl ist das gerade nicht klar. 
Da ist K schon mit heranzuziehen; einen Vektorraum V ohne einen 
Körper K gibt es nicht. 
So ist etwa C (auch) ein R-Vektorraum, zweidimensional, 
und R ist (auch) ein Q-Vektorraum, Q die rationalen Zahlen, 
unendlichdimensional. 

Eine Aussage der Art, dass "der Vektorraum R" und "der Körper R" 
isomorph oder strukturell gleich seien, ist damit nicht sinnvoll. 
Zum "Vektorraum R" müsste dabei ein Körper K mitbenannt werden. 
Bei manchen K gibt es jedoch keine "Isomorphie". 

Weiteres Beispiel: C ist ein C-Vektorraum (eindimensional) ebenso 
wie auch ein R-Vektorraum (zweidimensional). 

Hans 
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