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------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Martin VaethDATE : 31 Jan 2026 19:25:35 GMT TEMA : Re: Kreuzprodukt --------------------------------------------- Stephan Gerlach schrieb: > Martin Vaeth schrieb: >> >> Der Beweisansatz über Koordinaten zeigt Verblüffendes: >> Ist a = (a_1, a_2, a_3)^T und b = (b_1, b_2, b_3)^T, >> so bedeutet a x b = 0 ja, dass jede der Determinanten der >> drei Matrizen >> a_1 b_1 a_1 b_1 a_2 b_2 >> a_2 b_2 a_3 b_3 a_3 b_3 >> Null ist. Dies bedeutet aber gerade, dass die entsprechenden >> Spaltenvektoren linear voneinander sind. >> >> Das Verblüffende ist nun, dass man "praktisch" nur zwei oder >> manchmal gar nur eine dieser drei Determinantengleichungen braucht >> (also nur wissen muss, dass *zwei* bzw. *eine* der Koordinaten >> von a x b Null sind): > > Zum Verständnis: > Damit ist sicher *nicht* gemeint: > > "Wenn 2 der oben genannten Determinanten 0 sind, dann sind a und b parallel" Doch, genau das habe ich gemeint. Dass ist ja das Verblüffende, dass das bis auf trivialen Ausnahmefälle mit 0-Koordinaten stimmt. Und in diesen Ausnahmefällen braucht man sogar nur jeweils *eine* der drei Gleichungen (dann aber eine bestimmte). > (was so nicht stimmt). Doch, das disktutierte ich ja später (inkl. der Ausnahmefälle). > Sondern: > > "Wenn a x b = 0 ist UND wenn 2 der oben genannten Determinanten 0 sind, > dann sind a und b parallel". Dieses "UND" in obigem Satz ist logisch redundant: a x b = 0 ist ja äquivalent dazu, dass sogar alle *drei* der obigen Determinanten 0 sind. >> Nimmt man beispielsweise an, dass b_1 nicht 0 ist, dann folgt aus >> den ersten beiden Determinantengleichungen, dass es Skalare >> x,y gibt mit >> a_1 = xb_1 = yb_1 >> a_2 = xb_2 >> a_3 = yb_3 >> woraus man wegen b_1 ungleich 0 zunächst x = y und dann schon die >> Parallelität von a und b erhält. Analog, wenn a_1 ungleich 0 ist. >> >> Die dritte Determinantengleichung braucht man also tatsächlich >> nur für den Fall a_1 = b_1 = 0; aber für diesen Fall braucht man >> sie freilich, und in diesem Fall dann aber *nur* diese eine >> Gleichung. >> >> Entsprechend kann man verfahren, wenn man die erste Koodinate >> durch die zweite oder dritte ersetzt. >> >> Setzt man also etwa a-priori voraus, dass nicht die selben Einträge >> von a und b beide 0 sind, so folgt bereits aus der Tatsache, dass >> nur zwei beliebige Einträge von a x b Null sind, dass a und b >> parallel sind (und daher sogar a x b = 0 sein muss). >> Und wenn man aber umgekehrt aber a-priori voraussetzt, dass die >> selben Einträge von a und b beide 0 sind, so folgt a x b = 0 >> bereits aus der Tatsache, dass nur eine einzige Koordinate von >> a x b Null ist (welche Koordinate Null sein muss, hängt davon ab, >> welche der Einträge von a und b a-priori als 0 angenommen werden). > > Das klingt so plausibel. > > "Koordinatenfrei" läßt sich die Umkehrung > a x b = 0 ==> a und b sind parallel > offenbar nicht einfach aus den Rechenregeln von a x b beweisen. > > Man könnte über die Flächen-Eigenschaft gehen; allerdings ist das nur > eine Verlagerung der Schwierigkeit, da dann erst diese > Flächen-Eigenschaft bewiesen werden müßte. > > > -- > > Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen. > gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen... > (...Dialog aus m.p.d.g.w.a.) head: