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num: 29329
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : wm
DATE : Sat, 17 Jan 2026 17:11:28 +0100
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen?=
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Am 17.01.2026 um 15:49 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
> Blacky Cat wrote:
> ^^^^^^^^^^
> Weshalb?
>
>> Am 17.01.2026 um 00:17 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>> ℚ ℕ
>>> _______________________________ ______________________
>>> 1 1/2-- 1/3 1/4-- 1/5 ... 1 3-- 4 9-- 10 ...
>>> : ,' .' .' .' : .' .' .' .'
>>> 2/1 (2/2) 2/3 (2/4) 2 .' 8 .'
>>> .' .' .' .' .' .'
>>> 3/1 3/2 (3/3) 5 7 .'
>>> : .' .' : .' .'
>>> 4/1 6
>>> . .
>>> . . __
>>> . . |PE
>>
>> Für IN hatte ich das abers im Gedächtnis:
> ^^
> Ich hatte Dir bereits erklärt, weshalb es unnötig und missverständlich ist,
> für das Symbol der Menge der natürlichen Zahlen die Zeichenfolge "IN" ("I"
> gefolgt von "N") zu verwenden. Weshalb tust Du es trotzdem?
Es ist im europäischen Raum üblich, die Zahlenmengen durch entsprechende
Buchstaben mit verdoppeltem Anstrich zu kennzeichnen. Dafür wird oft |N
oder auch IN verwendet.
>
>> \ 1 2 3 4 5 6 7
>> +------------------------>
>> 1 | 1 2 4 7 11 16 22
>> 2 | 3 5 8 12 17 23
>> 3 | 6 9 13 18 24
>> 4 | 10 14 19 25
>> 5 | 15 20 26
>> 6 | 21 27
>> 7 | 28
>> 8 | ...
>> V
>
> Diese Darstellung folgt keiner offensichtlichen inneren Logik (es ist nicht
> einmal eine Additions- oder Multiplikationstabelle); aus der Literatur ist
> sie mir nicht bekannt -- Du hast sie wohl gerade erfunden.
Es ist eine Darstellung, welche die Abzählbarkeit der Brüche beweisen
soll, obwohl schon minder begabte Leser auf den ersten Blick erkennen
können sollten, dass die Indizes die Matrix der positiven Brüche nicht
vollständig überdecken können. Für diejenigen, die dazu nicht ohne Hilfe
in der Lage sind, gibt es mehrer ausführlichere Erklärungen, zum
Beispiel die folgende:
Wenn alle positiven Brüche m/n existieren, dann befinden sich alle in
der Matrix
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
... .
Wenn alle natürlichen Zahlen k existieren, dann können wir sie
verwenden, um damit die Ganzzahlbrüche m/1 in der ersten Spalte zu
indizieren. Bezeichnen wir indizierte Brüche mit X und nicht indizierte
mit O, so ergibt sich die Matrix
XOOO...
XOOO...
XOOO...
XOOO...
XOOO...
... .
Cantor behauptet, dass alle natürlichen Zahlen k existieren und
verwendet werden können, um alle positiven Brüche m/n zu indizieren. Das
erfolgt nach der Formel
k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m
und ergibt eine Folge von Brüchen
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, ... .
Diese Folge wird hier als eine Folge von Matrizen modelliert. Wir
verteilen die Indizes aus der ersten Spalte nach Cantors Vorschrift in
der Matrix, so dass die Brüche in der gegebenen Reihenfolge indiziert
werden.
Der Index 1 bleibt bei 1/1, dem ersten Term der Folge. Der nächste Term,
1/2, erhält den Index 2, der seiner Ausgangsposition 2/1 entnommen wird
XXOO...
OOOO...
XOOO...
XOOO...
XOOO...
... .
Dann wird der Index 3 von 3/1 für die Indizierung von 2/1 verwendet
XXOO...
XOOO...
OOOO...
XOOO...
XOOO...
... .
Dann wird der Index 4 von 4/1 für die Indizierung von 1/3 verwendet
XXXO...
XOOO...
OOOO...
OOOO...
XOOO...
... .
Dann wird der Index 5 von 5/1 für die Indizierung von 2/2 verwendet
XXXO...
XXOO...
OOOO...
OOOO...
OOOO...
... .
Und so weiter. Nach Abschluss der Indizierung, d.h. bei vollständiger
Abbildung von ℕ in die Brüche, wobei jeder Index seinen endgültigen
Platz bezogen hat
XXXX...
XXXX...
XXXX...
XXXX...
XXXX...
... ,
stellt sich heraus, dass in der Matrix nur noch indizierte Brüche X
erkennbar sind, aber kein Bruch ohne Index. Doch ist klar, dass durch
den Prozess des verlustlosen Austauschens von X und O kein O die Matrix
verlassen kann, solange nur natürliche Zahlen als Indizes verwendet
werden. Also sind nicht weniger Brüche ohne Index in der Matrix als am
Anfang.
Wir wissen, dass alle O und ebensoviele Brüche ohne Index in der Matrix
noch vorhanden sind, können aber keinen einzigen finden. Die einzig
mögliche Erklärung dafür ist, dass sie sich an dunklen Positionen befinden.
Gruß, WM
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