Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29371<br>
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GRUPPE: de.sci.physik,de.sci.mathematik
FROM  : Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de>
DATE  : Wed, 7 Jan 2026 02:14:10 +0100
TEMA  : Kreuzprodukt (was: Reibung und Arbeit)
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Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
> [...] wenn es ein externes elektrisches Feld
> E⃗ ≠ 0⃗ gibt, dann ergibt sich, falls v⃗(t) ∥ B⃗(x⃗, t):¹
> 
>   F⃗(x, t) = q [(E⃗(x⃗, t) + v⃗(t) × B⃗(x⃗, t)]
>           = q [(E⃗(x⃗, t) + 0⃗]
>           = q E⃗(x⃗, t)
>           ≠ 0⃗.
> 
> [...
> ___
> ¹ Das folgt aus ||v⃗ × B⃗||_ = ||v⃗||_ ||B⃗||_ sin[∠(v⃗, B⃗ )]:
>   Falls v⃗(t) ∥ B⃗(x⃗, t), dann ∠(v⃗, B⃗ ) ∈ {0, π}; somit sin[∠(v⃗, B⃗ )] = 0 und
>   ||v⃗ × B⃗|| = 0.  Aber der einzige Vektor, der die euklidische Norm 0 hat,
>   ist der Nullvektor 0⃗.  Das folgt wiederum aus der Definition
>   des Standard-Skalarprodukts, welches diese Norm induziert.

Das ist ein geometrischer Beweis unter der bekannten Annahme (mir fällt
gerade nicht ein, wie man *das* beweisen könnte), dass die euklidische Norm
des Kreuzprodukts gleich dem Flächeninhalt des von seinen beiden Operanden
aufgespannten Parallelogramms ist:

  v⃗ × B⃗
  ^
  :
  :
  :
  :
  :
  :         B⃗ _.-------------------------_.
  :       _.-''                      _.-''
  :   _.-' .' ||B⃗'||    A        _.-' .'
  :.-'___.'___________________.-'___.'   __
   ||v⃗'||                   v⃗  ||v⃗'||   |PE

  sin[∠(v⃗, B⃗)] = ||B⃗'||/||'B⃗||  ==>  ||B⃗'|| = ||B⃗|| sin[∠(v⃗, B⃗)],
  cos[∠(v⃗, B⃗)] = ||v⃗'||/||B⃗||  ==>  ||v⃗'|| = ||B⃗|| cos[∠(v⃗, B⃗)],
         ||v⃗|| = ||v⃗|| − ||v⃗'|| + ||v⃗'||

  ==> ||v⃗ × B⃗|| =(!) A = ||v⃗|| ||B⃗'|| = ||v⃗|| ||B⃗|| sin[∠(v⃗, B⃗)].

Ich habe mir aber gerade überlegt, dass der Beweis auch relativ einfach
algebraisch möglich sein *könnte*, falls das Kreuzprodukt dann invariant
unter Rotationen *wäre*.

Und tatsächlich *ist* es dann invariant nicht nur unter Rotationen, sondern
anscheinend *allen* *linearen* Transformationen:

Seien

  u := (u^1, u^2, u^3)^T,
  v := (v^1, v^2, v^3)^T,

dann

  [u × v]^i = ε_ijk u^j v^k

und

  [(R u) × (R v)]^i = ε_ijk R^j_m u^m R^k_n v^n,

wobei R eine beliebig feste Rotationsmatrix ist und jeweils die Einsteinsche
Summenkonvention verwendet wurde.

Falls aber o. B. d. A. v^1 = s u^1 != 0 und u^2 = v^2 = u^3 = v^3 = 0, also
u ∥ v, dann

  [u × v]^1 = u^2 v^3 − u^3 v^2 = 0,
  [u × v]^2 = u^3 v^1 − u^1 v^3 = 0,
  [u × v]^3 = u^1 v^2 − u^2 v^1 = 0,

und

  [(R u) × (R v)]^1 = R^2_1 u^1 R^3_1 v^1 − R^3_1 u^1 R^2_1 v^1 = 0,
  [(R u) × (R v)]^2 = R^3_1 u^1 R^1_1 v^1 − R^1_1 u^1 R^3_1 v^1 = 0,
  [(R u) × (R v)]^3 = R^1_1 u^1 R^2_1 v^1 − R^2_1 u^1 R^1_1 v^1 = 0,

weil es alles Skalare sind und diese kommutieren.  [Man könnte auch einfach
davon ausgehen, dass der Ergebnisvektor rotiert wird und das Ergebnis
natürlich auch der Nullvektor ist; aber das wäre kein strenger Beweis.
Entscheidend ist hier, dass in der Summe alle Terme verschwinden, die u^2,
u^3, v^2 und v^3 als Faktor enthalten.]

Wenn also das Kreuzprodukt zweier Vektoren, die (anti-)parallel zu einer
Koordinatenachse (hier: der x^1-Achse) zeigen, der Nullvektor ist, so ist
auch das Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in eine beliebige gleiche
Richtung (oder zwei entgegengesetzte Richtungen; dann wäre s < 0) zeigen,
nämlich durch gleiche Rotation der ursprünglichen Vektoren entstehen, der
Nullvektor.

Die Komponenten von R waren aber beliebig fest, also gilt das nicht nur für
Rotationen, sondern auch beliebige lineare Transformationen, also
insbesondere auch Translationen, Streckungen/Stauchungen und Reflexionen.

  [Geometrisch ist das trivial, weil das Parallelogramm entartet bleibt,
   aber algebraisch erscheint es mir nicht trivial.]

q.e.d.

-- 
PointedEars

Twitter: @PointedEars2
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