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num: 29783
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Ralf Bader
DATE : Sun, 8 Mar 2026 23:35:58 +0100
TEMA : Re: Behaupten und Beweisen // TH3 ex falso quodlibet
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On 03/06/2026 02:18 AM, Hans Crauel wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb
>
>> Der Klassiker zu "ex falso quodlibet" ist mir aus der Grundvorlesung
>> noch in sehr guter Erinnerung:
>> # Frage:
>> # Angenommen, es wäre 1 = 2, wie heißt dann der Papst?
>> # Antwort:
>> # Da gibt es viele Möglichkeiten, z.B. dass der Papst Rosenthal heißt.
>> # Beweis:
>> # Die Menge {Papst, Rosenthal} hat 2 Elemente.
>> # Wenn 2 = 1 ist, hat sie nur ein Element.
>> # Also ist Papst = Rosenthal.
>> Diese Schlussweise ist korrekt und illustriert das berühmte Prinzip "ex
>> falso quodlibet", d.h., dass aus Falschem Alles folgen kann.
>> Eine Feinheit sollte m.E. aber beachtet werden:
>> Es wäre ein logischer Kurzschluss, einfach zu sagen:
>> "Wenn 1 = 2, dann heißt der Papst Rosenthal wg. ex falso ...".
>> Das ist ja nichts weiter als die Behauptung, dass "1 = 2" falsch ist.
>> Der Reiz der obigen Beweisführung ist aber die /inhaltliche Verwendung/
>> der Prämisse "1 = 2".
>>
>> Ich komme wieder auf dies von mir im Juni 2025 hier in dsm diskutierte
>> Thema zurück, weil ich gerade einen solchen ex-falso-Kurzschluss lesen
>> durfte[1]:
>> # Frage:
>> # Angenommen, das Bild von [0,1) wäre tatsächlich (0,1],
>> # was ist dann das Bild von (0,1]?
>> #
>> # Antwort:
>> # Oh, da gibt es dann viele Möglichkeiten. Das Bild von (0,1]
>> # kann in diesem Fall etwa ein nicht einfach zusammenhängender
>> # reeller Banachraum sein.
>> # Weil: Ex falso ...
>
> Das ist eine interessante Frage. Ich beantworte aber erst
> einmal eine andere (und so war meine Antwort auch eigentlich
> gemeint; vom f war angenommen, dass es auf [0,1) definiert
> ist und Werte in R annimmt):
>
> Nimm einen Banachraum B mit ausreichend hoher Dimension, etwa zwei.
> B ist nicht einfach zusammenhängend, wenn es einen geschlossenen
> Weg gibt, der sich nicht auf einen Punkt zusammenziehen lässt.
> Ein geschlossener Weg ist dabei eine stetige Funktion gamma von
> einem Intervall [a,b] nach B mit gamma(a) = gamma(b).
> Er lässt sich zu einem Punkt p zusammenziehen, wenn es eine stetige
> Abbildung H von [0,1] x B nach B gibt mit H(0,gamma(t)) = gamma(t)
> und H(1,gamma(t)) = p für alle t aus [a,b] gibt.
> Solch ein H heißt Homotopie ,
> und gamma heißt dann nullhomotop.
Äh, nun ja. Richtiger wäre:
Er lässt sich zu einem Punkt p zusammenziehen, wenn es eine stetige
Abbildung H von [0,1] x [a,b] nach B gibt mit H(0,t) = gamma(t)
und H(1,t) = p für alle t aus [a,b] gibt. Außerdem sollte H(q,0)=H(q,1)
sein für alle q aus [0,1].
Es sei B die reelle projektive Ebene und S die Kreislinie, betrachtet
als Menge der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Es sei f:S->B nicht
zusammenziehbar (das ist machbar), g:S->S sei durch g(x)=x^2 definiert.
Dann ist f\circ g:S->B ein geschlossener Weg, der zusammenziehbar ist
(da die Fundamentalgruppe von B zyklisch von Ordnung 2 ist), aber eine
entsprechende "Homotopie" Deiner Machart gibt es nicht.
> Es sei also gamma ein geschlossener Weg, der sich auf den Nullpunkt
> in B zusammenziehen lässt (lässt sich gamma auf p zusammenziehen,
> so lässt sich gamma - p auf Null zusammenziehen),
> H sei eine gamma auf p = Null zusammenziehende Homotopie.
>
> Zu jedem eps > 0 gibt es dann ein t_0 mit |H(t,gamma(s))| < eps
> für alle t > t_0, s in [a,b], |.| ist die Norm auf B. Anders
> gesagt: H(t,gamma(.)) konvergiert gegen Null in B für t gegen 1.
>
> Es sei nun f eine monotone Funktion auf einer [0,1) enthaltenden
> Teilmenge von R mit f[0,1) = (0,1]; ein solches f muss auf [0,1)
> und damit auch auf jedem [0,c], c < 1, stetig sein und dort
> eine stetige und zudem monotone Umkehrabbildung f^-1 haben.
> Es sei nun t_0 so gewählt, dass |H(t,gamma(.))| < f(0) für t > t_0,
> Punkt heißt dabei: für alle s in [a,b]. Dann ist einerseits
> |H(t,gamma(.))| > 0
warum denn das?
> und damit f(|H(t,gamma(.))|) > 0, andererseits
> f^-1 (|H(t,gamma(.)|) < f^-1 (f(0)) = 0, so dass
> |H(t,gamma(.))| nicht größer als 0 sein kann.
>
> Das ist ein Widerspruch. Also gibt es einen geschlossenen Weg
> in B, der sich nicht auf einen Punkt p zusammenziehen lässt.
> Tatsächlich funktioniert das Argument für jeden echten
> geschlossenen Weg, so dass wir noch viel mehr aus der falschen
> Annahme geschlossen haben als einfach nur, dass Banachräume
> nicht einfach zusammenhängend sind.
>
>> Ich habe mich aber gefreut, dass mein Hinweis auf /inhaltliche
>> Auseinandersetzung/ mit "Bild von [0,1) = (0,1]" begrüßt wurde:
>> "Das ist im vorliegenden Kontext ein guter Einfall."
>
> Das freut mich dann wieder.
>
> Hans
>
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