Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29636<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius <invalid@example.invalid>
DATE  : Mon, 1 Dec 2025 12:54:55 +0100
TEMA  : Re: Weder zerlegbar noch prim . . .
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Am 01.12.2025 um 12:22 schrieb Stefan Ram:

> |8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for
> |   every b e B, there at least one a e A such that b = f(a)
> |   iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B.
> 
>    Hier fehlen sozusagen Klammern, es ist mir daher nicht
>    ganz klar, worauf sich das "for all" und das zweite "iff"
>    beziehen, und so mußte ich bei der Interpretation dieses
>    Satzes ("surjektiv" wurde davor definiert) passen.

Gemeint ist wohl:

     If A =/= {}, a function f: A --> B is surjective
     <=> for every b e B, there at least one a e A such that b = f(a)
     <=> iff f^{-1}(b) =/= {} for all b e B.

Ich sehe aber keinen Sinn darin, den Satz auf Funktionen mit nichtleerem 
Definitionsbereich (A) einzuschränken.

Ich würde

     A function f: A --> B is surjective
     <=> for every b e B, there at least one a e A such that b = f(a)
     <=> iff f^{-1}(b) =/= {} for all b e B.

Vgl.: https://de.wikipedia.org/wiki/Surjektive_Funktion#Definition
und: https://www.biancahoegel.de/mathe/urbild.html (insbes. "Das Urbild 
einer einelementigen Menge M = {b} schreibt man auch als f^{-1}(b) := 
f^{-1}({b}) = {x e A | f(x) = b} und nennt es das Urbild von b unter f.")

In https://www.biancahoegel.de/mathe/urbild.html heißt es dann weiter:

"Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein (sie kann also auch 
leer sein oder mehr als ein Element enthalten).

Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser der Abbildung über 
diesem Element genannt, insbesondere im Zusammenhang mit Faserbündeln."

Aha!

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