Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29459<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de>
DATE  : Sun, 25 Jan 2026 22:47:00 -0000 (UTC)
TEMA  : Re: Umformung einer Summe
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Thomas 'PointedEars' Lahn  schrieb

> Hans Crauel wrote:
>> Stefan Ram schrieb
>>> In einem Buch fand ich die folgende Umformung:
>>> Summe von n=0 bis oo von (a^n/n!)(d^nf/dx^n) an der Stelle x0
>>> = ( Summe von n=0 bis oo von (a^n/n!)(d^n/dx^n) )f(x) 
>>> an der Stelle x0. 
>>> Es handelt sich im wesentlichen darum, daß hier das "f" aus der
>>> Summe nach rechts ausgeklammert wurde.
>>>   Wie könnte man diese Gleichheit begründen?
>> 
>> Gar nicht.
> 
> IBTD. 
> 
>> Sie trifft für beliebiges f nicht zu. 
> 
> Doch, das tut sie.  

Die linke Seite ist im Fall, dass f nicht beliebig oft 
differenzierbar ist, nur für den Fall a = 0 definiert, 
ansonsten nicht (wie auch du feststellst). 
Sofern die rechte Seite als Anwendung eines Operators auf f 
definiert sein sollte - und das bleibt unklar - könnte 
dennoch rechts etwas Definiertes stehen. 

Tatsächlich hatte ich dann noch falshc a_n anstelle von a^n 
gelesen und dann an a_n = (n-1)! und gedacht, was für den Fall 
f(x) = exp(x) bei x = 1 links eine divergente Summe gibt, für 
den Fall f(x) = exp(-1) bei x = 1 jedoch eine konvergente. 

> Die Summe von Differentialoperatoren angewendet auf eine 
> Funktion ist einfach so *definiert*.  Seien D₁ und D₂ 
> Differentialoperatoren, d. h. ihre Wirkung auf eine Funktion ist
> jeweils die
> einer Ableitung dieser Funktion, dann ist *definiert*:
> 
>   (D₁ + D₂) f := D₁ f + D₂ f. 

Für endliche Summen ist es klar, und im Fall, dass f ein 
Polynom ist, ebenfalls (dann ist die Summe endlich). 
Die Erweiterung dieser Schreibweise auf unendliche Summen 
ist dann aber banal und nichts weiter als eine 
Notationsfestlegung. Da gibt es nichts zu zeigen, da ist 
rechts einfach nur eine Schreibweise, die links bedeutet. 
In diesem Fall gibt es jedoch keinen Grund, das nicht für 
allgemeine Koeffizienten b_n zu machen und nicht nur für 
b_n = a^n/n! 

> Dass die Funktion im obigen Fall beliebig oft differenzierbar 
> sein muss, ist ein anderes Problem [...] 

Sowas soll dann schon explizit gemacht werden und nicht 
einfach ein Haufen Symbole hingepurzelt werden, aus denen 
man sich dann was zusammenraten soll. 

> [...] wenn sie das nicht ist, dann ist bereits die linke
> Seite der Gleichung nicht definiert, und die Frage, ob diese
> Identität gilt, stellt sich nicht. 

Die rechte kann dann durchaus definiert sein, etwa indem 
man den Operator so definiert, dass er in nicht beliebig 
oft diffbaren Funktionen auf Null gesetzt wird. 

Hans 
head: