Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 30111<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Carlos Naplos <carna@onlinehome.de>
DATE  : Tue, 7 Apr 2026 22:40:38 +0200
TEMA  : Re: was ist eigentlich epsilon ?
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Am 01.04.2026 um 09:01 schrieb Jens Kallup:
> Am 01.04.2026 um 08:05 schrieb Carlos Naplos:
>> Jens, lies einfach, was ich geschrieben habe!
> 
> 
> - ja, metrischer Raum ...
> - in einen metrischen Raum können die Objekte unterschiedlich weit ent-
>    fernt voneinander sein
> - f(d) ist dann die Funktion, die einen Abstand zwischen x und y liefert
> - und genau dieser Abstand wird als Metrik bezeichnet
> 
> - ich habe mal recherchiert und komme auf das Ergebnis, das diese Metrik
>    >= 0 ist, also nie negativ ist, was meine obige Frage aus den anderen
>    Artikel erübrigt - aber es konnte ja sein... jaja, wer lesen kann...
> 
> - die Metrik, also der Abstand ist dann 0, wenn beide oder alle Objekte
>    gleich sind bzw. auf den gleichen Punkt liegen ?
> 

Genau. "beide" ist richtig.

Wesentlich für eine Metrik ist außerdem noch die Dreiecksungleichung: 
d(a,b) <= d(a,c) + d(c,b) d.h. Umwege sind länger als der direkte Weg
und die Symmetrie:
d(a,b) = d(b,a) d.h. der Hinweg ist genau so lang wie der Rückweg

> - in diesen Zusammenhang:
> - was sind offene Mengen ?
> 

Das ist noch allgemeiner.
Das Teilgebiet der Mathematik wird "Topologie" genannt.

Offene Mengen sind immer als offene Teilmengen einer vorgegebenen Menge 
zu betrachten.

Du gehst also von einer Menge M aus und schaust dir die Produktmenge 
(das ist die Menge aller Teilmengen) von M an.

Eine Teilmenge O(M) dieser Produktmenge darf man Topologie oder System 
offener Mengen nennen, wenn folgende vier Regeln erfüllt sind:
1. Die Menge M selbst gehört zu O(M). D.h. M ist offen.
2. Die leere Menge gehört zu O(M). d.h. die leere Menge ist offen.
3. Die Vereinigung von Mengen, die zu O(M) gehören, gehört zu O(M). D.h. 
die Vereinigung von offenen Mengen ist offen.
4. Der Durchschnitt endlich vieler Mengen, die zu O(M) gehören, gehört 
zu O(M). D.h. der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

Bei der vierten Regel kannst du statt "endlich vieler" auch "zweier" 
schreiben.

Zwei triviale Beispiele für Topologien, die es bei jeder Menge M gibt, 
sind die diskrete Topologie (jede Teilmenge von M ist offen) und die 
indiskrete Topologie (nur M selbst und die leere Menge sind offen).


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