Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29359<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Martin Vaeth <martin@mvath.de>
DATE  : 7 Jan 2026 18:28:08 GMT
TEMA  : Re: Kreuzprodukt (was: Reibung und Arbeit)
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Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> schrieb:
> [Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist 0].

Das folgt sofort aus der Antikommutativiatät a x b = -(b x a)
des Kreuzprodukts und der Linearität (es genügt die Homogenität)
des Kreuzprodukts in jedem Argument:

Ist b = lambda a, so ist
a x b = lambda (a x a) = (b x a) = -(a x b),
also a x b = 0.

> [Das Kreuzprodukt ist invariant unter Drehungen].

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, gilt für jede 3x3 Matrix A

(*) A^T ((Aa) x (Ab)) = (det A) (a x b)

(T bedeutet wie üblich Transposition), was für Drehungen A zu

(Aa) x (Ab) = A(a x b)

wird. Ich würde das eher kovariant nennen.

Der Beweis von (*) folgt aus der Gleichheit c^T(a x b) = det(c, a, b),
wobei ^T den transponierten Vektor/Matrix bezeichnet und (c, a, b)
die Matrix mit Spalten c, a, b. Es folgt für jede Matrix A, dass
(Ac)^T ((Aa) x (Ab)) = det(Ac, Aa, Ab) = det(A(c, a, b))
                     = (det A) det(c, a, b),
also c^T A^T((Aa) x (Ab)) = (det A)det(c, a, b) = c^T (det A)(a x b).
Da c beliebig ist, folgt hieraus (*).
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