Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29328<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Martin Vaeth <martin@mvath.de>
DATE  : 15 Jan 2026 19:55:07 GMT
TEMA  : Re: Summationsmethoden =?UTF-8?Q?f=C3=BCr?= divergente Reihen // TH28
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Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> schrieb:
> Rainer Rosenthal wrote:
>> Am 14.01.2026 um 21:51 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>> ω ist *definiert* als der *Ordnungstyp* der Menge der natürlichen Zahlen,
>>> also die zu der _Menge_ der natürlichen Zahlen zugehörige _Ordinalzahl_.
>>
>> Eine *Menge* hat nur eine Kardinalzahl, keine Ordinalzahl. Nur eine
>> *geordnete Menge* hat auch eine Ordinalzahl.
>
> Könntest Du bitte kurz den Unterschied an einem Beispiel erklären?

Betrachte etwa

1)  die natürliche Ordnung O_1 von \N = {1, 2, ...}
2)  eine andere Ordnung O_2 auf \N, die folgendermaßen erklärt ist:
    (i) Sind n und m natürliche Zahlen ungleich 1, so sei n <= m genau
        dann, wenn n in der natürlichen Ordnung höchstens m ist.
    (ii) Ist n eine natürliche Zahl, so ist n <= 1.

In beiden Fällen hat man es mit der Menge \N zu tun, aber \N mit
der Ordnung O_1 hat den Ordnungstyp (also die zugeordnete Ordinalzahl
\omega), während \N mit der Ordnung O_2 den Ordnungstyp (also die
zugeordnete Ordinalzahl) \omega + 1 hat.

Ohne die Ordnung zu kennen, kann man also nicht von der Menge (\N)
auf den Ordnungstyp (also die zugeordnete Ordinalzahl) schließen.

> Mich verwirren auch zwei verschiedene Notationen: Einerseits [...]
>
>| ω + ω = ord({0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0_(0) < 1_(0) < 2_(0) < 3_(0) < ...})

Ich finde diese Notation - Menge und Ordnung in einer Pünktchennotation zu
vereinen - sehr unglücklich, aber man kann vielleich ahnen, welche Menge
und welche Ordnung gemeint sind. Mehr als ahnen ist mit dieser Notation aber
wohl nicht möglich.
\N mit den Ordnungen O_1 bzw. O_2 wäre in dieser etwas unglücklichen Notation
wohl

{ 1 < 2 < 3 < ... }
{ 2 < 3 < 4 < ... < 1 }

> Sind {0 < 1 < 2 < 3 < ...} und ord({0 < 1 < 2 < 3 < ...}) äquivalent?

Nein: Das Linke soll die Menge zusammen mit der zugehörigen Ordnung
bezeichnen (wie gesagt, m.E. eine sehr unglückliche Notation),
das Rechte den zugehörigen Ordnungstyp bzw. die zugeordnete Ordinalzahl.

> Ist ω die geordnete Menge der natürlichen Zahlen, ist es die Anzahl der
> natürlichen Zahlen, oder etwas ganz andreas?

\omega ist die kleinste unendliche Ordinalzahl; sie ist dem Ordnungstyp
zugeordnet, der \N mit der natürlichen Ordnung entspricht, d.h.:
Die Ordinalzahl hat in ihrer natürlichen Ordnung (a < b falls a Element
von b ist) diesen Ordnungstyp.
In der von-Neumann-Definition der natürlichen Zahlen mit 0 ist \omega
die Menge aller natürlichen Zahlen mit 0.
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