Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29139<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius <invalid@example.invalid>
DATE  : Tue, 1 Apr 2025 20:34:32 +0200
TEMA  : =?UTF-8?Q?Re=3A_Eine_merkw=C3=BCrdige_Stille_//_TH7_Definition_=27n?= =?UTF-8?B?w7Z0aWcn?=
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Am 01.04.2025 um 20:17 schrieb Moebius:
> Am 31.03.2025 um 01:37 schrieb Moebius:
>> Am 31.03.2025 um 01:04 schrieb Moebius:
>>> Am 31.03.2025 um 01:02 schrieb Moebius:
>>>> Am 31.03.2025 um 00:38 schrieb Moebius:
>>>>
>>>>> Der folgende offenbar gültige logische Schluss lässt sich nicht mit 
>>>>> Hilfe des von Aristoteles gelehrten Systems (->Syllogismus) beweisen:
>>>>>
>>>>> „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“
>>>>
>>>> Kann das hier jemand beweisen? :-)
>>>
>>> Hinweis: Das hat insbesondere auch etwas mit dem Thema "Definition" 
>>> zu tun. Passt also ganz gut in den Thread. :-)
>>
>> Spoiler
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>>
>> Der springende Punkt ist natürlich die Definition (sic!) der 
>> Begriffe / Pferdekopf/ und /Tierkopf/.
>>
>> Wenn man man die Begriffe P, T und K (/Pferd/, /Tier/ und /Kopf von/) 
>> als undefinierte Grundbegriffe voraussetzt, kann man den oben 
>> erwähnten Schluss (mit passenden Definitionen) leicht beweisen. Wir 
>> definieren:
>>
>> PK(x) :<-> Ey(P(y) & K(x,y))    ...x ist ein Pferdekopf
>>
>> wobei K(x,y) bedeuten soll "x ist ein Kopf von y".
>>
>> x ist also ein Pferdekopf, wenn es ein Pferd y gibt, so dass x ein 
>> Kopf von y ist.
>>
>> Ebenso:
>>
>> TK(x) :<-> Ey(T(y) & K(x,y))    ...x ist ein Tierkopf
>>
>> x ist also ein Tierkopf, wenn es ein Tier y gibt, so dass x ein Kopf 
>> von y ist.
> 
> Man ist vielleicht versucht, hier statt der Relation K ("... ist ein 
> Kopf von ...") eine Funktion ("der Kopf von ...") zu verwenden und dann 
> PK ("Pferdekopf") und TK ("Tierkopf") wie folgt zu definieren:
> 
>           PK(x) :<-> Ey(P(y) & x = K(y))
>           "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x 
> ist."
> 
> und
>           TK(x) :<-> Ey(T(y) & x = K(y)) ,
>           "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Pferd gibt, dessen Kopf x ist."
> 
> Das wären aber keine "adäquaten" Definitionen für /Pferdekopf/ bzw. / 
> Tierkopf/, weil es eine Tatsache ist, dass es Tiere ohne Köpfe gibt (z. 
> B. Schwämme, Quallen oder Seesterne) und ebenso (als Fehlbildungen) 
> Tiere mit mehreren Köpfen. Wenn also x so ein Tier wäre, was wäre dann 
> F(x) (wenn F(x) DER Kopf des Tiers x sein soll)?
> 
> Tatsächlich basieren also diese Definitionen auf einer (versteckten) 
> "Zusatzannahme", nämlich dass alle Pferde/Tiere genau einen Kopf haben 
> (was -wie wir eben gesehen habe- FAKTISCH nicht immer der Fall ist).

Witzig ist, dass aber die Grundidee dieser alternativen Definitionen _im 
Kontext der Mengenlehre_ beibehalten werden kann, und dann offenbar 
adäquate Definitionen der Begriffe /Pferdekopf/ und /Tierkopf/ 
ermöglicht. :-)

K ist dabei weiterhin eine Funktion (jetzt aber im mengentheoretischen 
Sinne), und zwar so, dass K(a) _die MENGE der Köpfe von a_ ist. (Dass 
diese Menge leer sein kann oder mehrerer Elemente enthalten kann, ist 
dann kein Problem, sondern ein Feature!)

Wir können dann definieren:

              PK(x) :<-> Ey(P(y) & x e K(y))
              "x ist ein Pferdekopf gdw. es ein Pferd y gibt, so dass x 
ein Kopf von y ist."
und
              TK(x) :<-> Ey(T(y) & x e K(y)) ,
              "x ist ein Tierkopf gdw. es ein Tier y gibt, so dass x ein 
Kopf von y ist."

Vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Korrespondenz_(Mathematik).

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