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num: 29435
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Stephan HerrmannDATE : Thu, 29 Jan 2026 00:32:10 +0100 TEMA : Re: Umformung einer Summe --------------------------------------------- ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes: > Stephan Herrmann schrieb oder zitierte: >>>|However, let’s re-write this Taylor expansion in the compact form >>>|f (x0+Δx) = Σn=0,∞: Δx^n/n! d^n f / dx^n |x=x0. (2.2) >>>|Further, because the derivative is a linear operator, we can write >>>|f (x0+Δx) =( Σn=0,∞: Δx^n/n! d^n/dx^n ) f(x) |x=x0. (2.3) > . . . >>Die Linearität des Differentialoperators wird bei der Umformung >>benötigt. Betrachte mal nur die ersten drei Summanden und forme dann >>um. > > Es geht um die > > Summe mit n von 0 bis unendlich von: (a^n/n!) (d^n f / dx^n). > > Die ersten drei Summanden sind: > > f + a df/dx + (a^2/2) d^2f/dx. > > Nun verwende ich die Definition des Ableitungsoperators (d/dx), > nämlich (d/dx)f := df/dx: > > Damit ist d^2f/dx = (d/dx)(df/dx) = (d/dx)(d/dx)f. > > Die Anwendung der Definition von d/dx auf die Summe ergibt also: > > = (d/dx)^0 f + a (d/dx)^1 f + (a^2/2) (d/dx)^2 f. > > Hierbei wurde von der Linearität von "d/dx" kein Gebrauch gemacht. > > Nun verwende ich die punktweise Definition der Summe von Operatoren: > (O+P)(f) := O(f) + P(f). > Hierbei wurde Linearität von O oder P nicht vorausgesetzt. > Insbesonderer darf (O+P)(f) = O(f) + P(f) (punktweise Definition der > Summe) nicht mit O(f+g)=O(f)+O(g) (Linearität) verwechselt werden. > > Mit der punktweisen Definition der Summe von Operatoren erhalte ich: > > = ( (d/dx)^0 + a (d/dx)^1 + (a^2/2) (d/dx)^2 )f > > wieder ohne Verwendung der Linearität von "d/dx". > > Ja du hast Recht, in diesen Schritten wird die Linearität nicht benötigt. -- Stephan Herrmann head: