Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 30016<br>
<pre>
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de>
DATE  : Wed, 1 Apr 2026 23:49:14 +0200
TEMA  : Re: Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition
---------------------------------------------
Am 26.03.2026 um 01:08 schrieb Marc Olschok:
> 
> ... aus z.B. der Nichtexistenz von sup(I) kann
> man i.A. nicht folgern, dass I nach oben unbeschränkt ist.
> Man nehme etwa die Menge
> L = { 1/n, -1/n | 0 < n in N } mit der aus Q geerbten linearen Ordnung
> und
> I = { -1/n | 0 < n in N }.
> 

Der Knackpunkt ist hier, dass der Wert 0 nicht als 1/n oder -1/n 
schreibbar ist. Das ähnelt der klassischen Dedekind-Situation, in der 
der Wert sqrt(2) nicht als rationale Zahl vorliegt. Dort führt die 
"Tabu-Gleichung" x^2 = 2 auf den Schnitt (A|B) mit den Schnittmengen
A = {x in Q | x < 0 oder x^2 < 2}
und
B = {x in Q | x > 0 und x^2 >= 2}.
Es existiert dann sup(A) nicht in Q, wohl aber in einer 
Vervollständigung von Q, in der der Schnitt (A|B) realisiert ist, z.B. 
in V(Q) = R.

In ähnlicher Weise betrachte ich in der Menge L die "Tabu-Gleichung" 
(x+1)^2 = 1 zur Schnitt-Bildung (A|B) mit
A = {x in L | (x+1)^2 < 1}
und
B = {x in L | (x+1)^2 >= 1}.

Dann ist I = A < B, d.h. I ist nach oben beschränkt, aber es existiert 
sup(A) nicht in L, wohl aber in der um den Schnitt (A|B) erweiterten 
Vervollständigung von L zu V(L).

Ich bin zwar ein wenig stolz auf das lustige Tabu-Polynom (x+1)^2, bin 
mir aber bei der sauberen ordnungstheoretischen Einordnung meiner 
Erfindung etwas unsicher.

Ich finde das Thema weiterhin faszinierend und freue mich über Klärung.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de



head: