Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29383<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius <invalid@example.invalid>
DATE  : Mon, 2 Feb 2026 19:13:21 +0100
TEMA  : Re: Definition der reellen Zahlen
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Am 02.02.2026 um 19:05 schrieb Moebius:
> Am 30.01.2026 um 17:41 schrieb Ralf Goertz:
>> Am Thu, 29 Jan 2026 22:59:47 +0100
>> schrieb wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de>:
>>>
>>> Aber wie ist das mit der Abzählung der algebraischen Zahlen?
>>>
>> Das ist doch ganz einfach. Eine algebraische Zahl ist Nullstelle eines
>> nichtkonstanten normierten irreduziblen Polynoms p(x) mit rationalen
>> Koeffizienten. Da sich die Nullstellen nicht ändern, wenn man
>> stattdessen a*p(x) betrachtet (mit a ∈ ℤ\{0}) kann man p(x) o.B.d.A. als
>> Polynom mit ganzen Koeffizienten betrachten (in dem man a auf das kgV
>> der Nenner der Koeffizienten setzt), danach teilt man die Koeffizienten
>> durch ihren ggT und multipliziert gegebenenfalls mit -1, um den
>> Leitkoeffizienten positiv zu machen. Damit hat man für jede algebraische
>> Zahl ein eindeutiges ganzzahliges Polynom. Diese lassen sich nach
>> folgendem Schema abzählen. Betrachte das Maximum m aus Grad des Polynoms
>> und Summe der Absolutwerte der Koeffizienten. Für jedes m gibt es nur
>> endlich viele Polynome:
>>
>> m=1: x
>> m=2: x-1, x+1, (x²-1), (x²), x²+1
>> m=3: x-2, x+2, 2x-1, 2x+1, x²-x-1, x²-x+1, x²-2, x²+2, x²+x-1, 
>> x²+x+1,…, 2x³+1
>> m=4: x-3, x+3, …
>> …
>>
>> (Für m=2 habe ich die reduziblen Polynome eingeklammert, sie fallen
>> raus.) Innerhalb eines m sortiert man zunächst nach Grad, dann nach der
>> Größe der Koeffizienten, beginnend mit dem Leitkoeffizienten. Ein
>> irreduzibles Polynom des Grads n über ℤ hat n verschiedene Nullstellen
>> in ℂ. Die sortiert man zuerst nach Realteil, dann nach Imaginärteil.
>> Damit beginnt die Abzählung der algebraischen Zahlen also so:
>>
>> 0,
>> 1, -1, -i, i,
>> 2, -2, 1/2, -1/2, (1-√5)/2, (1+√5)/2, (1-i√3)/2, (1+i√3)/2, -√2, √2, - 
>> i√2, i√2,…,
>> 3, -3, …
>> …
>>
>> Das sieht für dich vielleicht kompliziert aus, trotzdem ist es eine
>> einfache Abzählung, denn jede algebraische Zahl „kommt dran“, ist also
>> einer natürlichen Zahl zugeordnet. Aber du hast ja schon Probleme bei
>> der Abzählung der natürlichen Zahlen.
> 
> Ich glaube, Du hast hier ein paar Schritte "übersprungen", die WM 
> ebenfalls Probleme bereiten: Wo man z. B. gewinnbringend den 
> Dedekindschen Rekursionssatz (für eine "rekursive Definition") verwenden 
> kann, faselt Mückenheim etwas von "Supertasks", usw. usf.
> 
> Nun habe ich aber in dem Buch "Introduction to Metamathematics" von S. 
> C. Kleene eine witzige Alternative zu dem üblichen Beweis (der über die 
> "Höhe" des Polynoms geht) gesehen:
> 
> "Another device will illustrate the possibilities for enumerating sets. 
> In dealing with an enumerable set (finite or infinite), the numbers 
> which correspond to the members in some specified enumeration can be 
> used to designate or name the members individually. Now conversely, if a 
> name or explicit expression can be assigned to every one of the members 
> of a set individually, in a preassigned and unambiguous system of nota 
> tion, the set is enumerable (finite or infinite). We stipulate that a 
> name or expression shall be a finite sequence of symbols chosen from a 
> given finite alphabet of available symbols. For example, the algebraic 
> equations with integral coefficients can be written using decimal 
> notation for the coefficients and exponents. The raised exponents are an 
> inessential feature of the notation, which can be removed by a suitable 
> convention. Indeed, so long as we are dealing only with these equations, 
> we may simply write the exponents on the line. The symbols required are 
> then precisely
> 
>           0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, +, -, =
> 
> The first symbol in an equation is not a 0. Reinterpret these symbols as 
> the digits (!) in a quattuordecimal number system, i.e. a number system 
> based on 14 in the same way that the decimal system is based on 10. 
> Every equation becomes a natural number (distinct equations becoming 
> distinct numbers). Enumerate the equations in the order of magnitude of 
> these numbers."

Der gute Mückenheim wird vermutlich "Enumerate the equations in the 
order of magnitude of these numbers" als Aufforderung einen Supertask zu 
performen, auffassen. (Als ob man das könnte, wenn man nicht gerade 
Chuck Norris ist!) :-)

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