Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29372<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid>
DATE  : Mon, 19 Jan 2026 00:43:48 -0000 (UTC)
TEMA  : Re: Georg Cantor, =?UTF-8?Q?Beitr=C3=A4ge?= zur =?UTF-8?Q?Begr=C3=BCndung?= der transfiniten Mengenlehre (1895)
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On Sun, 18 Jan 2026 01:10:18 Moebius wrote:
> Um hier nicht nur dem Mückenidioten (der so gut wie gar nichts versteht) 
> das Feld zu überlassen, mal ein paar Zitate aus dem im Betreff genannten 
> Artikel von Cantor und ein paar Kommentare dazu.
> 
> Dieser Artikel beginnt mit der berühmten "Mengendefinition" von Cantor:
> 
> "Unter einer ,Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten 
> wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens 
> (welche die ,Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen."
> 
> Als "heuristische" Erklärung, was eine Menge sein soll, kann man das 
> gelten lassen, obwohl es natürlich "im technischen Sinne" keine 
> Definition ist.
> 
> Beim Versuch, zu erklären, was die /Mächtigkeit/ einer Menge bzw. ihre 
> /Karinalzahl/ ist, formuliert Cantor leider ziemlichen Unsinn. (Das ist 
> mir vor vielen Jahren bei der ersten Lektüre des Aufsatzes schon 
> aufgefallen. Was Cantor da schreibt, macht einfach keinen Sinn.)
> 
> "Jeder Menge M kommt eine bestimmte ,Mächtigkeit' zu, welche wir auch 
> ihre ,Gardinalzahl' nennen."
> 
> So weit so gut.
> 
> ",Mächtigkeit' oder ,Cardinalzahl' von M nennen wir den 
> Allgemeinbegriff, welcher mit Hülfe unseres activen Denkvermögens 
> dadurch aus der Menge M hervorgeht, dass von der Beschaffenheit ihrer 
> verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins 
> abstrahirt wird."
> 
> Auch noch ok [wenn wir mal von dem undefinierten Bergriff 
> "Allgemeinbegriff" absehen]. aber was heißt "abtrahiren" hier genau?

Der Begriff soll so beschaffen sein, dass |M| = |M'| gilt, falls es eine
bijektive Abbildung f: M --> M' gibt.
Ein Element m aus M ist eventuell anders 'beschaffen'. als f(m), aber
das soll eben die Cardinalität der Menge M nicht beeinflussen.

Speziell ist also |M| invariant unter Permutation (hängt also
nicht davon ab, ob oder wie die Menge M geordnet ist).

Aber natürlich hat er damit diesen Begriff noch nicht gefasst, sondern
nur beschrieben, welche Eigenschaften er erwartet.
Aus heutiger Sicht wirkt es durchaus klar.
> 
> Cantor weiter:
> 
> "Das Resultat dieses zweifachen Abstractionsacts, die Cardinalzahl oder 
> Mächtigkeit von M, bezeichnen wir mit |M|."
> 
> Ok.

Naja, eben erst einmal mehr Wunsch als Definition.

> 
> Aber nun formuliert Cantor leider Unsinn:
> 
> "Da aus jedem einzelnen Elemente m, wenn man von seiner Beschaffenheit 
> absieht, eine ,Eins* wird, so ist die Cardinalzahl |M| selbst eine 
> bestimmte aus lauter Einsen zusammengesetzte Menge, die als 
> intellectuelles Abbild oder Projection der gegebenen Menge M
> in unserem Geiste Existenz hat."

Jede Menge ist das Koprodukt (= Summe) einelementiger Mengen,
also in diesem Sinn "Summe von Einsen".
Aus heutiger Sicht klar. Er hatte halt das Vokabular noch nicht.

v.G.
-- 
M.O.
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