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num: 29489
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Jens Kallup
DATE : Mon, 16 Feb 2026 20:28:04 +0100
TEMA : Re: Hilbert-Fahrstuhl
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Was ich Heute gelernt habe:
- oo ist keine normale Zahl, sondern ein Symbol für "ohne Grenze"
- wenn man zwei oo Symbole addiert, kommt wieder oo heraus
- oo läuft nicht über
- oo + oo = oo. <-- ok. [1]
- oo * oo = oo. <-- ok.
- oo - oo = undefiniert. <-- nok. [2]
- oo / oo = undefiniert. <-- nok.
Als Vorstellung, ohne Formel:
a) wir stellen und oo viele Äpfel vor
b) jemand gibt nochmals oo viele Äpfel hinzu
man kann hier nicht schreiben:
- man hat nun "doppelt unendlich"
Es sind einfach immer noch oo-viele Äpfel und egal wie viele man
noch dazu gibt, es hört nie auf.
n e IN ---> {1, 2, 3, ..., n }. geht für immer weiter
die oben gezeigte List wird nie "mehr als oo".
- oo ist nicht gleich groß, und es gibt verschieden große oo-keiten
- Menga A = { 1,2,3,...}.
- Menge B = { 0.123..., 0.31415..., 0.99999...}
- A und B sind unendlich
- B ist aber "mehr unendlich" als A
- wenn zwei Mengen oo gleich groß sind, kann man sie paarweise zuordnen
(IN - Zahlen <-> gerade Zahlen):
1 <-> 2
2 <-> 4
3 <-> 6
4 <-> 8
...
- für reelle IR Zahlen gibt es immer "noch mehr".
Menge A nennt man " abzählbar oo". <-- IN
Menge B nennt man "über-abzählbar oo". <-- IR
IN => oo lange Straße.
IR => oo liche Fläche. <-- mehr als oo
- Cantor's Arbeit liegt darin begründet, das er zeigen wollte, dass IR
nicht aufzählbar ist, weil IR mehr Zahlen als IN hat.
Den Trick, den Cantor dafür verwendet ist sein 1. Diagonal-Argument:
0.1 2 34112..
0.31 4 15..
0.514 3 211..
0.9999 1 92999..
man kann immer neue Zahlen konstruhieren, die nicht in den Bereich der
obigen Liste enthalten sind.
- IR kann man "niemals" komplett aufzählen, da sie größer als oo sind
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[1] - im Sinne von Wachstum
[2] - NICHT im Sinne von algebraisch 2 + 3
Jens
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