Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29435<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de>
DATE  : Tue, 27 Jan 2026 22:23:11 +0100
TEMA  : Re: Definition der reellen Zahlen
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Am 27.01.2026 um 21:12 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
> wm wrote:
>> Am 27.01.2026 um 01:40 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>> WM wrote:
>>>> Cantor schreibt:
>>>>
>>>> Es hat nämlich die Funktion λ = μ + (μ + ν - 1)(μ + ν - 2)/2, wie leicht
>>>> zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sie alle positiven ganzen
>>>> Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ und ν unabhängig
>>>> voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen Wert erhalten.
>>>
>>> Wo *genau* soll Cantor das denn geschrieben haben?
>>
>> Cantor schrieb es in Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Crelles
>> Journal f. Mathematik Bd. 84, S. 242 - 258  (1878), § 8. Am leichtesten
>> findest Du es online in E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte
>> Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer,
>> Berlin (1932) p. 132.
> 
> Das ist richtig, wie man hier frei nachlesen kann:
> 
> <https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/cantor.pdf>
> 
> [Mit dem (Studenten-)Login und auch über das VPN meiner Universität war
> leider kein Zugriff auf die bei Springer verfügbare Version möglich.
> Also habe ich nach dem Titel gegoogelt.]
> 
>>>> Die dargestellten Zahlen sind indessen, wie leicht zu zeigen:
>>>> 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,
>>>> 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1,
>>>
>>> Hast *Du* das geschrieben, oder soll Cantor das geschrieben haben?
>>
>> Das habe ich geschrieben. Cantor gibt an dieser Stelle die Brüche nicht an.
> 
> Weil er dort gar nicht die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen diskutiert,
> sondern etwas anderes; anscheinend "die Bijektion zwischen ℕ² und ℕ", wie
> schliesslich von ChatGPT behauptet.

Das ist schließlich dasselbe. Aber auf die Brüche weist er explizit 
schon auf S. 126 hin: "Es gehört alsdann zu jeder Zahl p/q ein 
bestimmter ganzzahliger, positiver Wert N, und umgekehrt gehört zu einem 
solchen Werte von N immer nur eine endliche Anzahl von Zahlen p/q. 
Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, daß die 
zu kleineren Werten von N gehörigen denen vorangehen, für welche N einen 
größeren Wert hat, daß ferner die Zahlen p/q, für welche N einen und 
denselben Wert hat, ihrer Größe nach einander folgen, die größeren auf 
die kleineren, so kommt jede der Zahlen p/q an eine ganz bestimmte 
Stelle einer einfach unendlichen Reihe, deren allgemeines Glied mit  
bezeichnet werde."

> 
>>> Das solltest Du noch einmal überprüfen, denn bereits 1/2 widerspricht sehr
>>> offensichtlich obiger Behauptung: 1/2 ist keine positive ganze Zahl.
>>
>> Die positiven ganzen Zahlen sind die λ: 1, 2, 3, ..., die sich aus den
>> Zählern und Nennern der Brüche μ/ν ergeben, welche sie indizieren.
> 
> Das ist lediglich *Deine* *Interpretation*.

Nein.

>> Da musst Du den Brief vom 16. Nov. 1883 von Cantor an Lipschitz
>> konsultieren. Er zählt dort die ganze Folge der Brüche von 1/1 bis 9/1
>> auf.
> 
> Das ist bis zum Beweis dessen lediglich Deine Interpretation.

Lies ihn doch.
> 
>> Aber, dort gibt er die Dubletten wie 2/2 *nicht* an. Er schreibt dort:
>>
>> "Bezeichnet man die Glieder jener Reihe mit
>> F(1), F(2), F(3), ..., F(ν), ...
>> so daß: F(1) = 1; F(2) = 1/2 ; F(3) = 2/1; F(4) = 1/3 ; F(5) = 3/1; u.s.w."
> 
> Angenommen, Cantor schrieb dies in Bezug auf die Abzählbarkeit der
> rationalen Zahlen (was ich nicht überprüfen kann, da ich den Brief nicht
> lesen kann).  Dann ist aber offensichtlich, dass dort, im Unterschied zu
> Deiner Zahlenfolge, NICHT "F(5) = 2/2" steht.  Deine Zahlenfolge hat also
> mit der Cantors nichts zu tun.

Bist Du tatsächlich nicht in der Lage, Deine eigene Rechnung zu 
verstehen? 2/2 hat laut Formel den Index 5. Im Brief an Lipschitz 
entfallen die Dubletten. Aber eine Formel zur Berechnung der Indizes in 
diesem Falle hat Cantor nicht. Er fragt im Brief danach. Also ist da 
eine Supertask angezeigt.
> 
>> Nun frage ich den sicher mitlesenden Supertask-Fritsche: Wie hat er die
>> Dubletten denn entfernt? Etwa per Hand in einer Supertask? Denn seine
>> Formel gibt ja alle Brüche wieder.
> 
> Das ist lediglich Deine Interpretation.

Das ist eine Frage gewesen.
> 
>>> Beachte, dass dort NICHT steht, dass μ der Zähler und ν der Nenner desselben
>>> Bruchs sein sollen.

Lies S. 126.

>>>  Ebenso steht dort NICHT "Bijektion zwischen ℚ und ℕ".

Das Wort kannte Cantor noch nicht. Es wurde von Bourbaki erfunden. Die 
Bijektion zwischen ℚ und ℕ ist dasselbe wie die Nummerierung einer 
unendlichen Matrix. Letzteres macht er axplizit auf S. 295.

Gruß, WM
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