Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 30290<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius <invalid@example.invalid>
DATE  : Thu, 16 Apr 2026 22:06:44 +0200
TEMA  : Re: Bild und Abstraktion: Zeltstangen-Metrik
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Am 16.04.2026 um 21:38 schrieb Moebius:
> Inspiriert durch RRs "Zeltstangen-Metrik" möchte ich hier eine 
> "alternative Definition" für den Begriff der /Metrik/ formulieren. Das 
> Besondere dieser "alternativen" Begriffsbildung ist, dass hier die 
> Symmetrie schon in die "DNA" der Metrik eingebaut ist, man sie also 
> nicht mehr explizit "fordern" muss. Außerdem gibt es dann auch keine 2 
> Varianten der "Dreiecksungleichung" mehr (siehe die entsprechenden 
> Postings zu dem Thema). (Andererseits verliert man auf die diese Weise 
> die Möglichkeit, eine Quasi-Metrik zu betrachten, indem man einfach die 
> Forderung der Symmetrie fallen lässt; aber darauf kommt es mir in diesem 
> Zusammenhang nicht an.)
> 
> DEFINITION
> 
> Sei X eine Menge. X* = {Y c X : 1 <= |Y| <= 2}. Eine Abbildung d: X* --> 
> IR heißt eine /Metrik/ auf X, wenn für alle x,y,z e X die folgenden 
> Bedingungen erfüllt sind:
> 
> (M1) d({x,y}) >= 0 und d({x,y}) = 0 <=> x = y ,
> (M2) d({x,y}) <= d({x,z}) + d({y,z}) .

Kürzer und näher an der von Herrlich gegebenen Definition wäre:

(M1) d({x,y}) = 0 <=> x = y ,
(M2) d({x,y}) <= d({x,z}) + d({z,y}) .

Da sieht dann auch (M2) eher wie die "übliche" Dreiecksungleichung aus. :-)

Dass d({x,y}) >= 0 (für alle x,y e X) gilt, kann man immer noch aus (M1) 
und (M2) ableiten:

(M2) geht für y = x über in: d({x,x}) <= d({x,z}) + d({z,x}) für alle 
x,z e X also, unter Berücksichtigung von (M1), in 0 <= d({x,z}) + 
d({z,x}) und das wiederum (wegen {x,z} = {z,x}) in 0 <= 2 d({x,z}) für 
alle x,z e X. Woraus folgt: 0 <= d({x,y}) für alle x,y e X.

> d(M) heißt der Abstand der Punkte in M.
> 
> ________
> 
> Es ist klar, dass es (wegen {a,b} = {b,a}) keinen Unterschied zwischen 
> d({a,b}) und d({b,a}) gibt/geben kann. Daher braucht man die "Symmetrie" 
> d({x,y}) = d({y,x}) nicht explizit zu fordern. Auch gibt es dann keine 2 
> "Versionen" der "Dreiecksungleichung" mehr. Man kann d({x,y}) <= 
> d({x,z}) + d({y,z}) oder d({x,y}) <= d({x,z}) + d({z,y}) schreiben. (Ich 
> habe mich für die erste Variante entschieden.)
> 
> Am 12.04.2026 um 02:05 schrieb Rainer Rosenthal:
> 
>> * Man stelle sich folgendes Bild vor:
>> Zeltstangen A und B werden in den Punkten x bzw. y in den Boden 
>> gesteckt und sollen oben im Punkt z das Zelt halten.
>>
>> Damit wird ein Dreieck mit diesen Seiten veranschaulicht:
>> Zeltstange A = [x,z]
>> Zeltstange B = [y,z]
>> Grundseite C = [x,y].
>>
>> Damit die Konstruktion möglich ist, darf Länge |C| nicht größer sein 
>> als die Summe der Längen |A| und |B|.
>>
>> * Abstraktion:
>> Wir messen die Längen mit einer Funktion d: P x P -> R, wobei P die 
>> Menge der Punkte ist und R die reellen Zahlen bezeichnet. Dann ist |A| 
>> = d(x,z), |B| = d(y,z), |C| = d(x,y).
>>
>> Die Funktion d erfüllt folgende Bedingungen:
>> 1. Positiv-Definitheit
>> d(x,y) >= 0 für alle x, y in P mit Gleichheit nur für x = y
>> 2. "Zeltstangen-Ungleichung"
>> d(x,y) <= d(x,z) + d(y,z)
>>
>> Damit ist bereits eine Metrik definiert, weil die Symmetrie herleitbar 
>> ist:
>> d(x,y) <= d(x,x) + d(y,x) = d(y,x).
>> Ebenso: d(y,x) <= d(y,y) + d(x,y) = d(x,y),
>> also d(x,y) = d(y,x) für alle x, y in P.
>>
>> Die Formulierung der Dreiecksungleichung als "Zeltstangen-Ungleichung" 
>> suggeriert keine Orientierung und erfordert darum keine Zusatzbedingung.
>>
>> Mit diesem Beitrag habe ich das Versprechen eingelöst, das ich am 
>> 09.04.2026 um 22:56 Uhr im Posting "Kurze Metrik-Definition (war: was 
>> ist eigentlich epsilon ?)" gegeben hatte.
>>
>> Rainer Rosenthal
>> r.rosenthal@web.de
>>
>>
>>
>>
> 
> 


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