Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29353<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Martin Vaeth <martin@mvath.de>
DATE  : 10 Jan 2026 10:32:56 GMT
TEMA  : Re: Kreuzprodukt
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Stephan Gerlach <mam99hes@t-online.de> schrieb:
> Martin Vaeth schrieb:
>> Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> schrieb:
>>> [Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist 0].
>>
>> Das folgt sofort aus der Antikommutativiatät a x b = -(b x a)
>> des Kreuzprodukts und der Linearität (es genügt die Homogenität)
>> des Kreuzprodukts in jedem Argument:
>>
>> Ist b = lambda a, so ist
>> a x b = lambda (a x a) = (b x a) = -(a x b),
>> also a x b = 0.
>
> Oder (didaktisch etwas einfacher?) man folgert aus der
> Antikommutativität erstmal nur
> a x a = 0
> und daraus dann a x b = 0 für parallele Vektoren a und b.

Nicht nur didaktisch einfacher, auch logisch einfacher:
Man benötigt dann nur die Homogenität in *einem* der Argumente
des Kreuzprodukts.

> Etwas schwieriger(?) ist die Umkehrung:
> Wenn a x b = 0 ist, dann sind a und b parallel.
> (Wobei man hier strenggenommen Trivial-Fälle wie a=0 oder b=0
> ausschließen sollte.)

Man braucht nichts auszuschließen, wenn man wie üblich vereinbart,
dass der Nullvektor zu jedem Vektor parallel ist.

Der Beweisansatz über Koordinaten zeigt Verblüffendes:
Ist a = (a_1, a_2, a_3)^T und b = (b_1, b_2, b_3)^T,
so bedeutet a x b = 0 ja, dass jede der Determinanten der
drei Matrizen
a_1 b_1     a_1 b_1       a_2 b_2
a_2 b_2     a_3 b_3       a_3 b_3
Null ist. Dies bedeutet aber gerade, dass die entsprechenden
Spaltenvektoren linear voneinander sind.

Das Verblüffende ist nun, dass man "praktisch" nur zwei oder
manchmal  gar nur eine dieser drei Determinantengleichungen braucht
(also nur wissen muss, dass *zwei* bzw. *eine* der Koordinaten
von a x b Null sind):

Nimmt man beispielsweise an, dass b_1 nicht 0 ist, dann folgt aus
den ersten beiden Determinantengleichungen, dass es Skalare
x,y gibt mit
a_1 = xb_1 = yb_1
a_2 = xb_2
a_3 = yb_3
woraus man wegen b_1 ungleich 0 zunächst x = y und dann schon die
Parallelität von a und b erhält. Analog, wenn a_1 ungleich 0 ist.

Die dritte Determinantengleichung braucht man also tatsächlich
nur für den Fall a_1 = b_1 = 0; aber für diesen Fall braucht man
sie freilich, und in diesem Fall dann aber *nur* diese eine
Gleichung.

Entsprechend kann man verfahren, wenn man die erste Koodinate
durch die zweite oder dritte ersetzt.

Setzt man also etwa a-priori voraus, dass nicht die selben Einträge
von a und b beide 0 sind, so folgt bereits aus der Tatsache, dass
nur zwei beliebige Einträge von a x b Null sind, dass a und b
parallel sind (und daher sogar a x b = 0 sein muss).
Und wenn man aber umgekehrt aber a-priori voraussetzt, dass die
selben Einträge von a und b beide 0 sind, so folgt a x b = 0
bereits aus der Tatsache, dass nur eine einzige Koordinate von
a x b Null ist (welche Koordinate Null sein muss, hängt davon ab,
welche der Einträge von a und b a-priori als 0 angenommen werden).
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