Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29329<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de>
DATE  : Thu, 15 Jan 2026 17:08:11 +0100
TEMA  : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen?=
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Jens Kallup wrote:
> Am 14.01.2026 um 21:51 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>> ω ist*definiert* als der*Ordnungstyp* der Menge der natürlichen Zahlen,
>> also die zu der_Menge_ der natürlichen Zahlen zugehörige_Ordinalzahl_.
>> Das ist die_Länge_ der Folge 0, 1, 2, 3, ...; es ist_nicht_ die Summe
>>
>>    ∑_{n < ω} n = 0 + 1 + 2 + 3 + ...,
>>
>> sondern die Summe
>>
>>    ∑_{n < ω} 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... (ω-mal).
> 
> Ich dachte, hier von Summe zu reden, wäre pölptelhaft?
> Weil, + ist in Mengen-Betrachtung *keine* Addition, sondern eine logisch
> zu verstehende UND/AND - Verknüpfung.
> 
> Und als solche ergibt sich:  1 + 1 = 1.
> Egal wieviel man UND "verkettet", es ergibt immer 1 oder halt oo.
> 
> Somit verstehe ich als Laie: 1 == oo, oo == 1, oo == oo oder 1 == 1.
> 
> Was dann zum Widerspruch führt:  n < w.  ==>  1 < 1.

/Ex nonsenso quodlibet./

("Aus Unsinn folgt Beliebiges", analog zu /Ex falso quodlibet/ "aus Falschem
folgt Beliebiges".)

> Was mich dan auf den Gedanken bringt, dass man aus diesen Grund, den
> Widerspruch zu entkräften, neben der "abzählbar oo", die "über-abzähl-
> bare oo" eingeführt hat.

Nein, "überabzählbar" bedeutet dasselbe wie "unendlich gross/viele, aber
_nicht_ abzählbar".

Zum Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen ℝ überabzählbar, weil (AIUI)
es zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen unendlich viele weitere reelle
Zahlen gibt (und das gilt rekursiv).  Intuitiv:

Wolltest Du die reellen Zahlen abzählen, so hättest Du das Problem, dass Du
von der einer gewählten reellen Zahl unendlich lange weiterzählen müsstest,
bis zu einer als "nächsten" reellen Zahl definierten Zahl kommst.  Da Du
nicht bis unendlich zählen kannst, und ausserdem zwischen der nächsten
"Teil"-Zahl bis zur nächsten "Teil"-Zahl wieder bis unendlich zählen
müsstest und so weiter, was Du ebenfalls nicht kannst, kommst Du *nie* am
Ziel an.  Das wird gern mit Dezimalbrüchen verdeutlicht, indem man versucht,
sie alle von der kleinsten zur nächstgrösseren aufzuschreiben -- was dann
scheitern muss, da die Anzahl Nachkommastellen (abzählbar) nach oben nicht
beschränkt ist:

  (1) 0
  (?) 0.1

Das kann aber nicht die nächste reelle Zahl sein, die grösser als 0 ist
(also bei unserer Zählung die zweite), denn es gibt ja vorher noch 0.01
OK, also fangen wir nochmal mit Zählen an:

  (1) 0.0
  (?) 0.01
  (?) 0.1

0.01 kann wieder nicht die zweite Zahl sein, denn es gibt ja vorher noch
0.001.  Also nochmal:

  (1) 0.0
  (?) 0.001
  (?) 0.01
  (?) 0.1

Und wieder ist 0.001 nicht die zweite Zahl, denn ...

Und deshalb:

  (?) 0.1 <--- Hier kommst Du *nie* beim Zählen der reellen Zahlen an;
               die Frage, die wievielte reelle Zahl das ist, kann nicht
               beantwortet werden.

Im Unterschied dazu gibt es zwischen zwei natürlichen Zahlen, wobei eine der
Nachfolger der anderen ist, keine weitere natürliche Zahl.  Deshalb sind die
natürlichen Zahlen abzählbar, *obwohl* es unendlich viele davon gibt.  Das
nennt man dann "abzählbar unendlich" oder (gern von Mathematikern verwendet,
die Mathematikstudenten verwirren möchten; BTST ;-)) nur "abzählbar".

> Also IN + 1. IN steht hier für mich für die Menge der natürlichen mathe-
> matischen Objekte.

So etwas wie "natürliche mathematische Objekte" gibt es nicht.  Es gibt
(nur?) natürliche _Zahlen_.  Zur Vermeidung von Verwirrung sollte man dann
"ℕ" schreiben (wie es üblich ist) oder _nur_ "N", wenn man keine
Unicode-Zeichen eingeben kann.  (Mir ist jetzt erst klar geworden, was Du
mit "IN" meinst; bedenke, dass nicht jede Schriftart gleich aussieht, und
dass die meisten Leute Usenet-Artikel mit einer Festbreitenschriftart lesen.)

> Irgendwo steht ja auch in den Unterlagen, das Cantor das w (kleinste n
> in IN, das großer als IN selbst ist - was ich dann für IN + 1 verstehe.

AIUI ist ω (omega, nicht w) _keine_ natürliche Zahl, denn sie *folgt* auf
*alle* natürlichen Zahlen:

| Perhaps a clearer intuition of ordinals can be formed by examining a first
| few of them: as mentioned above, they start with the natural numbers, 0,
| 1, 2, 3, 4, 5, ... After all natural numbers comes the first infinite
                     ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
| ordinal, ω, and after that come ω+1, ω+2, ω+3, and so on.
  ^^^^^^^^^^

> Aber worauf ich hinaus will:
> Du schreibst \sum_{n < w} 1 = 1 + 1 + 1 + ... (w-mal)...

Nein, ich schrieb, was man mit LaTeX (mehr oder weniger) schreiben würde als

  \sum_{n < \omega} 1 = 1 + 1 + 1 + ... (\omega-mal)

> Wie stellst Du fest, wann und wo es zu den "Sprung" kommt - also von der
> abzählbaren oo in die über-abzählbaren oo ?

Gar nicht, weil "überabzählbar" etwas anderes bedeutet, als Du denkst.

> Ich hatte ja bereits ein Artikel veröffentlicht, der die Über-abzählbar-
> keit graphisch darstellen sollte, mit verschiedenen oo-keiten.

Der ist leider (wieder) grober Unfug; aber ich bin noch nicht dazu gekommen,
dazu einen ausführlicheren Kommentar zu schreiben.

-- 
PointedEars

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