Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29841<br>
<pre>
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de>
DATE  : Mon, 23 Mar 2026 20:46:24 +0100
TEMA  : Re: Zum Denken von ChatGPT. Es lohnt hier, das Ende zu lesen.
---------------------------------------------
Am 23.03.2026 um 19:41 schrieb Moebius:
> Am 23.03.2026 um 15:58 schrieb wm:
>> Am 22.03.2026 um 20:55 schrieb Moebius:
>>>
>>> Der Pfad (d((p1_1), d((p2_2), ...) ist kein Element in L, weil er 
>>> sich von _jedem_ Pfad/Element in L unterscheidet.
>>>
>> Somit haben wir einen Widerspruch in der Mengenlehre gefunden,
> 
> Grundsätzlich kann man das (bekanntlich) nicht ausschließen.
> 
> WESENTLICH wahrscheinlicher ist allerdings, dass Dein "Beweis" gar kein 
> Beweis ist, weil mind. einer der "Beweisschritte" darin fehlerhaft ist 
> und/oder Du Dich auf UNDEFINIERTE Begriffe beziehst. :-)

Das sollte ich doch genau fixieren lassen.
> 
> Schauen wir mal, was Du da vorbringst:
> 
>> (1) Cantors Diagonalargument findet zu jeder abzählbaren Menge reeller
>> ZahlenZahlen eine nicht darin enthaltene reelle Zahl, also hier [KONKRET]
>> den gerade von Dir beschriebenen Pfad.
> 
> Ja, so ist es.
> 
>> (2) Nach Cantors Abzählbarkeitsdefinition ist die Knotenmenge des 
>> Binären Baums abzählbar.
> 
> Ja.
> 
>> (3) Ordnet man jedem Knoten genau einen Pfad zu, so ist die Pfadmenge 
>> aufgrund dieser Bijektion ebenfalls abzählbar.
> 
> Hier haben wir schon den ersten Fehler ("aufgrund dieser Bijektion").
> 
> Wenn man jedem Knoten genau einen Pfad (aus der Menge der Pfade im Baum) 
> zuordnet, dann ist damit eine Funktion von der Menge der Knoten in die 
> Menge der Pfade gegeben.
> 
> ABER so eine Funktion ist nicht notwendigerweise injektiv (geschweige 
> den bijektiv)!

Das ist ein richtiger Hinweis. Es könnten mehrere Knoten ein und 
demselben Pfad zugeordnet werden. Das würde die Pfadmenge aber immernoch 
auf abzählbar unendlich oder kleiner beschränken.
> 
> Betrachte den Baum:
> 
>             K0
>           /   \
>          K1   K2
>         / \   / \
>        K3 K4 K5 K6
>            ...
> 
> 
> Sei z. B. p der Pfad, der durch die Knotenfolge (K0, K1, K3, ...) 
> gegeben ist (kurz: p = (K0, K1, K3, ...)), dann kann dieser Pfad K0, K1, 
> K3, usw. zugeordnet sein. Also K0 |-> p, K1 |-> p, K3 |-> p, ...
Ja, jeder Knoten der linken Flanke könnte dem Pfad 0,000... zugeordnet 
werden.
> 
>> (4) Ich wähle dazu für jeden Index n ∈ ℕ [einen gewissen] Pfad P(n) 
>> der den Knoten K(n) enthält (also direkt zu ihm hin führt) und [sich] 
>> dann beliebig fortsetzt.
> 
> Ja, das ist dann eine Abbildung f: Menge_der_Knoten --> Menge_der_Pfade.
> 
> ABER:
> 
> 1. ist diese Abbildung/Funktion nicht notwendigerweise injektiv. (Selbst 
> wenn wir mal -for the sake of the argument- den Knoten K0 "außer Acht" 
> lassen.)
> 
> Gemäß Deiner "Definition" (bzw. "Konstruktion") könnte z. B. f(K1) = 
> (K0, K1, K3, x, y, z, ...) sein; aber auch f(K2) = (K0, K1, K3, x, y, 
> z, ...) gelten.

Ich danke Dir für diesen Hinweis. Ich hatte tatsächlich nicht daran 
gedacht. Allerdings, wie oben schon bemerkt, ist die Bildmenge trotzdem 
höchstens abzählbar unendlich.

> 
> Du solltest also ERST MAL eine Funktion f: Menge_der_Knoten --> 
> Menge_der_Pfade angeben, von der man ZEIGEN/BEWEISEN kann, dass sie 
> injektiv ist.

Das ist nicht erforderlich. Ich kann viele Knoten (unendlich viele 
sogar) verschwenden, ohne den Beweis zu beeinträchtigen. Denn wenn ein 
Pfad "links liegen gelassen wird", weil alle zu ihm führenden Knoten auf 
andere Pfade abgebildet werden, dann muss er später doch "dran glauben", 
weil er aus dem Netz der Knoten nicht herauskommt.
> 
> Ich denke, dass das es so eine Funktion f GIBT ...; aber (!)
> 
> 2. jede solche Funktion f ist BEWEISBAR *nicht* surjektiv.

Mag sein, das Diagonalargument. Aber zumindest führt der Beweis zu einem 
Widerspruch, denn bis zu jeder Ebene E(n) gehören alle Knoten zu 2^n 
Pfaden, auf die sie abgebildet worden sind. K0, K1 und K3 mögen alle auf 
den Pfad 0,000... abgebildet werden. K4, K5 und K6 werden aber sicher 
auf andere Pfad abgebildet, so dass alle Pfade des Binären Baums auf den 
Ebenen E(1) und E(2) genau wie die 4 markierten Pfade verlaufen (wohin 
die später auch streben mögen). Und das gilt weiterhin für lle Ebenen.
> 
> Da nützt es nichts, dass Du einfach SO TUST, als OB DAS SO WÄRE. *lol*
> 
> Lass es mich mal so sagen: Deine (versteckte) ANNAHME, dass Deine 
> "Konstruktion" eine Bijektion von der Menge_der_Knoten auf die 
> Menge_der_Pfade liefert, ist falsch.

Du hast recht, und ich danke Dir für diese Bemerkung.

> Den Rest Deines "Arguments" braucht man daher gar nicht weiter zu 
> betrachten.

Warum? Die abzählbare Pfadmenge ist möglicherweise kleiner als die 
Knotenmenge, aber trotzdem ist sie surjektiv über die Menge aller Pfade 
des Binären Baums.

Gruß, WM
head: