Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29404<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Martin Vaeth <martin@mvath.de>
DATE  : 31 Jan 2026 19:25:35 GMT
TEMA  : Re: Kreuzprodukt
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Stephan Gerlach <mam99hes@t-online.de> schrieb:
> Martin Vaeth schrieb:
>>
>> Der Beweisansatz über Koordinaten zeigt Verblüffendes:
>> Ist a = (a_1, a_2, a_3)^T und b = (b_1, b_2, b_3)^T,
>> so bedeutet a x b = 0 ja, dass jede der Determinanten der
>> drei Matrizen
>> a_1 b_1     a_1 b_1       a_2 b_2
>> a_2 b_2     a_3 b_3       a_3 b_3
>> Null ist. Dies bedeutet aber gerade, dass die entsprechenden
>> Spaltenvektoren linear voneinander sind.
>>
>> Das Verblüffende ist nun, dass man "praktisch" nur zwei oder
>> manchmal  gar nur eine dieser drei Determinantengleichungen braucht
>> (also nur wissen muss, dass *zwei* bzw. *eine* der Koordinaten
>> von a x b Null sind):
>
> Zum Verständnis:
> Damit ist sicher *nicht* gemeint:
>
> "Wenn 2 der oben genannten Determinanten 0 sind, dann sind a und b parallel"

Doch, genau das habe ich gemeint. Dass ist ja das Verblüffende, dass das
bis auf trivialen Ausnahmefälle mit 0-Koordinaten stimmt. Und in diesen
Ausnahmefällen braucht man sogar nur jeweils *eine* der drei Gleichungen
(dann aber eine bestimmte).

> (was so nicht stimmt).

Doch, das disktutierte ich ja später (inkl. der Ausnahmefälle).

> Sondern:
>
> "Wenn a x b = 0 ist UND wenn 2 der oben genannten Determinanten 0 sind,
> dann sind a und b parallel".

Dieses "UND" in obigem Satz ist logisch redundant:
a x b = 0 ist ja äquivalent dazu, dass sogar alle *drei* der
obigen Determinanten 0 sind.

>> Nimmt man beispielsweise an, dass b_1 nicht 0 ist, dann folgt aus
>> den ersten beiden Determinantengleichungen, dass es Skalare
>> x,y gibt mit
>> a_1 = xb_1 = yb_1
>> a_2 = xb_2
>> a_3 = yb_3
>> woraus man wegen b_1 ungleich 0 zunächst x = y und dann schon die
>> Parallelität von a und b erhält. Analog, wenn a_1 ungleich 0 ist.
>> 
>> Die dritte Determinantengleichung braucht man also tatsächlich
>> nur für den Fall a_1 = b_1 = 0; aber für diesen Fall braucht man
>> sie freilich, und in diesem Fall dann aber *nur* diese eine
>> Gleichung.
>> 
>> Entsprechend kann man verfahren, wenn man die erste Koodinate
>> durch die zweite oder dritte ersetzt.
>> 
>> Setzt man also etwa a-priori voraus, dass nicht die selben Einträge
>> von a und b beide 0 sind, so folgt bereits aus der Tatsache, dass
>> nur zwei beliebige Einträge von a x b Null sind, dass a und b
>> parallel sind (und daher sogar a x b = 0 sein muss).
>> Und wenn man aber umgekehrt aber a-priori voraussetzt, dass die
>> selben Einträge von a und b beide 0 sind, so folgt a x b = 0
>> bereits aus der Tatsache, dass nur eine einzige Koordinate von
>> a x b Null ist (welche Koordinate Null sein muss, hängt davon ab,
>> welche der Einträge von a und b a-priori als 0 angenommen werden).
>
> Das klingt so plausibel.
>
> "Koordinatenfrei" läßt sich die Umkehrung
> a x b = 0  ==>  a und b sind parallel
> offenbar nicht einfach aus den Rechenregeln von a x b beweisen.
>
> Man könnte über die Flächen-Eigenschaft gehen; allerdings ist das nur 
> eine Verlagerung der Schwierigkeit, da dann erst diese 
> Flächen-Eigenschaft bewiesen werden müßte.
>
>
> -- 
>  > Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
> gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
> (...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
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