Verbindung hergestellt.connected.
num: 29372
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Marc OlschokDATE : Mon, 19 Jan 2026 00:43:48 -0000 (UTC) TEMA : Re: Georg Cantor, =?UTF-8?Q?Beitr=C3=A4ge?= zur =?UTF-8?Q?Begr=C3=BCndung?= der transfiniten Mengenlehre (1895) --------------------------------------------- On Sun, 18 Jan 2026 01:10:18 Moebius wrote: > Um hier nicht nur dem Mückenidioten (der so gut wie gar nichts versteht) > das Feld zu überlassen, mal ein paar Zitate aus dem im Betreff genannten > Artikel von Cantor und ein paar Kommentare dazu. > > Dieser Artikel beginnt mit der berühmten "Mengendefinition" von Cantor: > > "Unter einer ,Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten > wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens > (welche die ,Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen." > > Als "heuristische" Erklärung, was eine Menge sein soll, kann man das > gelten lassen, obwohl es natürlich "im technischen Sinne" keine > Definition ist. > > Beim Versuch, zu erklären, was die /Mächtigkeit/ einer Menge bzw. ihre > /Karinalzahl/ ist, formuliert Cantor leider ziemlichen Unsinn. (Das ist > mir vor vielen Jahren bei der ersten Lektüre des Aufsatzes schon > aufgefallen. Was Cantor da schreibt, macht einfach keinen Sinn.) > > "Jeder Menge M kommt eine bestimmte ,Mächtigkeit' zu, welche wir auch > ihre ,Gardinalzahl' nennen." > > So weit so gut. > > ",Mächtigkeit' oder ,Cardinalzahl' von M nennen wir den > Allgemeinbegriff, welcher mit Hülfe unseres activen Denkvermögens > dadurch aus der Menge M hervorgeht, dass von der Beschaffenheit ihrer > verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins > abstrahirt wird." > > Auch noch ok [wenn wir mal von dem undefinierten Bergriff > "Allgemeinbegriff" absehen]. aber was heißt "abtrahiren" hier genau? Der Begriff soll so beschaffen sein, dass |M| = |M'| gilt, falls es eine bijektive Abbildung f: M --> M' gibt. Ein Element m aus M ist eventuell anders 'beschaffen'. als f(m), aber das soll eben die Cardinalität der Menge M nicht beeinflussen. Speziell ist also |M| invariant unter Permutation (hängt also nicht davon ab, ob oder wie die Menge M geordnet ist). Aber natürlich hat er damit diesen Begriff noch nicht gefasst, sondern nur beschrieben, welche Eigenschaften er erwartet. Aus heutiger Sicht wirkt es durchaus klar. > > Cantor weiter: > > "Das Resultat dieses zweifachen Abstractionsacts, die Cardinalzahl oder > Mächtigkeit von M, bezeichnen wir mit |M|." > > Ok. Naja, eben erst einmal mehr Wunsch als Definition. > > Aber nun formuliert Cantor leider Unsinn: > > "Da aus jedem einzelnen Elemente m, wenn man von seiner Beschaffenheit > absieht, eine ,Eins* wird, so ist die Cardinalzahl |M| selbst eine > bestimmte aus lauter Einsen zusammengesetzte Menge, die als > intellectuelles Abbild oder Projection der gegebenen Menge M > in unserem Geiste Existenz hat." Jede Menge ist das Koprodukt (= Summe) einelementiger Mengen, also in diesem Sinn "Summe von Einsen". Aus heutiger Sicht klar. Er hatte halt das Vokabular noch nicht. v.G. -- M.O. head: